Логарифмы
Свойства степеней
Для работы с логарифмами вам понадобится уверенное владение свойствами степеней. В табличке перечислены самые главные. Для простоты будем считать, что основание (здесь — \(a\)) — действительное положительное число, а показатели степени (здесь — \(m\) и \(n\)) могут быть произвольными действительными числами. Важное уточнение: для натуральных степеней ограничений на основание меньше, но для логарифмов, в общем случае, нам нужны именно действительные.
Логарифмы
Для начала дадим определение логарифма.
Определение. Логарифмом положительного числа \(b\) по основанию \(a\), где \(a>0\) и \(a\neq 1\), называется такое число \(c\), что \(a^c=b\). Обозначение: \(\log_a{b}\) (читается как <<логарифм числа \(b\) по основанию \(a\)>>).
В записи \(\log_a{b}\) первое число (число \(a\)) называется основанием и показывает, какое число будет возводиться в степень.
Число \(b\) показывает, какой результат мы должны получить после возведения в степень, и называется аргументом. Говоря простым языком, логарифм показывает, в какую степень мы будем возводить число \(a\), чтобы получить \(b\).
\(\blacktriangleright\) Пример 1. \(\log_3{5}\) — логарифм числа 5 по основанию 3.
\(\blacktriangleright\) Пример 2. \(\log_{\frac{1}{2}}{16}\) — логарифм числа 16 по основанию \(\frac{1}{2}\).
\(\blacktriangleright\) Примеры на вычисление.
\(\log_3{9}=2\)
Действительно, 2 — это степень, в которую нужно возвести \(3\), чтобы получить \(9\). Иначе говоря, \(3^2=9\).\(\log_2{8}=3\)
Действительно, 3 — это степень, в которую нужно возвести \(2\), чтобы получить \(8\). Иначе говоря, \(2^3=8\).\(\log_{\frac{1}{2}}{\dfrac{1}{16}}=4\)
Действительно, 4 — это степень, в которую нужно возвести \(\dfrac{1}{2}\), чтобы получить \(\dfrac{1}{16}\). Иначе говоря, \(\left(\dfrac{1}{2}\right)^4=\dfrac{1}{16}\).\(\log_{\frac{1}{2}}32=-5\)
Действительно, \(-5\) — это степень, в которую нужно возвести \(\dfrac{1}{2}\), чтобы получить 32. Иначе говоря, \(\left(\dfrac{1}{2}\right)^{-5}=32\).
Некоторые особенно важные логарифмы имеют свои отдельные обозначения (в остальном это такие же логарифмы, с теми же свойствами).
Определение. Логарифм по основанию 10 называется десятичным логарифмом. Вместо записи \(\log_{10}a\) обычно используется обозначение \(\lg{a}\). Обозначение: \(\lg{x}=\log_{10}{x}\).
\(\blacktriangleright\) Примеры. \(\lg{100}=2\); \(\lg{10^{13}}=13\); \(\lg{0,1}=-1\).
Определение. Натуральный логарифм — это логарифм по основанию \(e\). Обозначение: \(\ln{x}=\log_e{x}\).
\(\blacktriangleright\) Примеры. \(\ln{1}=0; \,\, \ln{e}=1\)
Замечание: В записи \(\ln{x}\) буква ''\(l\)'' — ''логарифм'', а буква ''\(n\)'' — ''натуральный''.
В дальнейшем, если нам встретится выражение \(\log_a{b}\), то мы сразу можем сказать, что \(b\) и \(a\) — это положительные числа и \(a\neq 1\).
Откуда берутся ограничения в логарифме?
Зададимся вопросом: <<чему может быть равен \(\log_1{2}\)?>>
Это степень, в которую нужно возвести \(1\), чтобы получить \(2\). Но \(1\) в любой степени — это \(1\). Поэтому \(2\) мы никогда не получим. А значит, \(\log_1{2}\) не имеет смысла, следовательно \(a\neq 1\).
Мы можем возводить в произвольную степень только положительные числа. Поэтому основание логарифма \(a>0\).
Из определения \(b=a^c\). Значит, \(b\) — это результат возведения положительного числа \(a\) в степень \(c\). Поэтому \(b>0\).
Важно отметить, что хотя на основание и аргумент логарифма накладываются жесткие ограничения, сам логарифм может быть любым числом (положительным, отрицательным, нулевым, сколь угодно малым и сколь угодно большим). Подробнее узнать об этом вы сможете в видео в начале параграфа.
Свойства логарифмов
Чтобы успешно использовать на практике операцию логарифмирования, нужно изучить её основные свойства:
Пусть \(a>0\), \(b>0\), \(c>0\), \(d>0\) и \(a\neq 1\), а \(m\) и \(n\) — произвольные действительные числа, тогда
\(\boldsymbol{\log_a{1}=0}\) | \(\boldsymbol{\log_a{b^n}=n\log_{a}{b}}\) | \(\boldsymbol{\log_a{b}+\log_a{c}=\log_{a}{\left(b\cdot c \right)}}\) | \(\boldsymbol{a^{\log_a{b}}=b}\) | |
\(\boldsymbol{\log_a{a}=1}\) | \(\boldsymbol{\log_{a^m}{b}=\dfrac{1}{m}{\log_{a}{b}}}\) | \(\boldsymbol{\log_a{b}-\log_a{c}=\log_{a}{\left(\dfrac{b}{c}\right)}}\) | \(\boldsymbol{\log_c{b}=\dfrac{1}{\log_b{c}}}\) | |
\(\boldsymbol{\log_a{a^n}=n}\) | \(\boldsymbol{\log_{a^n}{b^n}=\log_{a}{b}}\) | \(\boldsymbol{\log_c{a}\cdot\log_a{b}=\log_c{b}}\) | \(\boldsymbol{\dfrac{\log_c{b}}{\log_c{a}}=\log_a{b}}\) | |
\(\boldsymbol{\log_a{\dfrac{1}{a}}=-1}\) | \(\boldsymbol{\log_{a^m}{b^n}=\dfrac{n}{m}{\log_{a}{b}}}\) | \(\boldsymbol{\log_a{b}\cdot\log_d{c}=\log_a{c}\cdot\log_d{b}}\) | \(\boldsymbol{c^{\log_a{b}}=b^{\log_{a}{c}}}\) |
Замечание. Помимо указанных над таблицей ограничений на переменные, в отдельных формулах могут потребоваться дополнительные. Все они сразу следуют из определений логарифма и арифметических операций. Пожалуйста, при использовании формул всегда следите за существованием всех входящих в них функций.
Свойство 1:
\(\blacktriangleright\) Пример. Вычислите \(\log_7{1}\).
Решение:
Зададимся вопросом, в какую степень нужно возвести \(7\), чтобы получить \(1\)? То есть найдем такое \(c\), что \(7^{c}=1\). Это \(c=0\), значит, логарифм \(\log_7{1}=0\).
Можно сказать, что при любом допустимом основании логарифма, если мы ищем логарифм по этому основанию от \(1\), значение логарифма будет равняться \(0\).
Свойство 2:
\(\blacktriangleright\) Пример. Вычислите \(\log_3{3}\).
Решение:
Зададимся вопросом, в какую степень нужно возвести \(3\), чтобы получить \(3\)? То есть найдем такое \(c\), что \(3^{c}=3\). Это \(c=1\), тогда логарифм \(\log_3{3}=1\).
Можно сказать, что если число в основании и число, от которого берётся логарифм, равны (\(a=b\)), значение логарифма будет равняться \(1\).
Свойство 3:
\(\blacktriangleright\) Пример: Вычислите \(\log_4{4^2}\).
Решение:
Зададимся вопросом, в какую степень нужно возвести \(4\), чтобы получить \(4^2\)? То есть найдем такое \(c\), что \(4^{c}=4^2\). Это \(c=2\), тогда логарифм \(\log_4{4^2}=2\).
Можно сказать, что если мы берем логарифм от некоторого числа \(a\) в степени \(n\) и основанием логарифма тоже является число \(a\), то такой логарифм равен числу \(n\).
Свойство 4:
\(\blacktriangleright\) Пример. Вычислите \(\log_2{\dfrac{1}{2}}\).
Решение:
Зададимся вопросом, в какую степень нужно возвести \(2\), чтобы получить \(\dfrac{1}{2}\)? Вспомним, что \(\dfrac{1}{2}=2^{-1}\). То есть найдем такое \(c\), что \(2^{c}=\dfrac{1}{2} \Leftrightarrow 2^c=2^{-1}\). Это \(c=-1\), тогда логарифм
Дальнейшие свойства мы сформулируем без пояснений.
Свойство 5:
\(\blacktriangleright\) Пример. Вычислите \(\log_4{16^{10}}\).
Решение:
Используя указанное выше свойство, получаем: \(\log_4{16^{10}}=10\log_4{16}=10\cdot2=20\).
Примечание. Логарифм выше мы, конечно же, могли вычислить и без всяких свойств, но с ними все-таки удобнее.
Свойство 6:
\(\blacktriangleright\) Примеры:
Вычислите:
\(\log_9{27}\).
Решение:
Используя наше свойство, вычислим: \(\log_9{27}=\log_{3^2}{27}= \dfrac{1}{2}\log_{3}{27}=\dfrac{1}{2}\cdot 3=\dfrac{3}{2}\).
\(\log_{4^2}{4}\).
Решение:
Используя наше свойство, вычислим: \(\log_{4^2}{4}=\dfrac{1}{2}\log_4{4}=\dfrac{1}{2}\cdot 1=\dfrac{1}{2}\).
\(\log_2{\sqrt{2}}\).
Решение:
Используя наше свойство, вычислим: \(\log_2{\sqrt{2}}=\log_{(\sqrt{2})^2}{\sqrt{2}}=\dfrac{1}{2}\log_{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=\dfrac{1}{2}\cdot 1=\dfrac{1}{2}\).
Свойство 7:
\(\blacktriangleright\) Примеры:
Вычислите:
\(\log_{49^2}{7^2}\).
Решение:
Используя наше свойство, вычислим: \(\log_{49^2}{7^2}=\log_{49}{7}=\log_{7^2}{7}=\dfrac{1}{2}\log_{7}{7}=\dfrac{1}{2}\).
\(\log_{\sqrt{343}}{\sqrt{7}}\).
Решение:
Используя наше свойство, вычислим:
\[\log_{\sqrt{343}}{\sqrt{7}}=\log_{{343}^\frac{1}{2}}{{7}^\frac{1}{2}}=\log_{343}{7} =\log_{7^3}{7}=\dfrac{1}{3}\log_{7}{7}=\dfrac{1}{3}\cdot 1=\dfrac{1}{3}.\]
Здесь мы воспользовались тем, что \(\log_{a^n}{b}=\dfrac{1}{n}\log_a{b}.\)\(\log_{4}{25}-\log_{8}{125}\).
Решение:
Используя наше свойство, упростим сначала первый логарифм, а затем второй:
\(\log_{4}{25}=\log_{2^2}{5^2}=\log_2{5}\),
\(\log_{8}{125}=\log_{2^3}{5^3}=\log_{2}{5}\).
Теперь вычислим:
\(\log_{4}{25}-\log_{8}{125}=\log_{2}{5}-\log_{2}{5}=0\).
Свойство 8:
\(\blacktriangleright\) Примеры:
Вычислите:
\(\log_{3^{15}}{27^8}\).
Решение:
Преобразуем наше выражение:
\[\log_{3^{15}}{27^8}=\dfrac{8}{15}\log_3{27}=\dfrac{8}{15}\cdot 3=\dfrac{8}{5}=1,6.\]\(\log_{\sqrt{3}}{\dfrac{1}{27}}\).
Решение:
Преобразуем наше выражение:
\[\log_{\sqrt{3}}{\dfrac{1}{27}}=\log_{3^{\frac{1}{2}}}{3^{-3}}=-\dfrac{3}{\frac{1}{2}}\cdot \log_{3}{3}= -3\cdot 2\cdot 1=-6.\]\(\log_{4}{64\sqrt{2}}\).
Решение:
Преобразуем наше выражение:
\[\log_{4}{64\sqrt{2}}=\log_{2^2}{(2^{6}\cdot 2^{\frac{1}{2}})}=\log_{2^2}{2^{6+\frac{1}{2}}}=\log_{2^2}{2^{\frac{13}{2}}}= \dfrac{\frac{13}{2}}{ 2}\log_{2}{2} =\dfrac{13}{2\cdot 2}\log_{2}{2}=\dfrac{13}{4}\cdot 1=\dfrac{13}{4}.\]
Свойство 9:
\(\blacktriangleright\) Примеры:
Вычислите:
\(e^{\log_e{8}}\).
Решение:
Используя наше свойство, вычислим: \(e^{\log_e{8}}=8.\)
\(2^{3+\log_2{9}}\).
Решение:
Используя наше свойство, вычислим: \(2^{3+\log_2{9}}=2^{3}\cdot 2^{\log_2{9}}=8\cdot 9=72.\)
Здесь мы пользовались тем, что \(a^{n+m}=a^n\cdot a^m.\)
\(13^{\log_{13}{4}-2}\).
Решение:
Используя наше свойство, вычислим: \(\dfrac{13^{\log_{13}{4}}}{13^2}=\dfrac{4}{169}.\)
Здесь мы пользовались тем, что \(a^{n-m}=\dfrac{a^n}{a^m}.\)
\(8^{2\log_{8}{3}}\).
Решение:
Используя наше свойство, вычислим: \(8^{2\log_{8}{3}}=\left(8^{\log_{8}{3}}\right)^2=3^2=9.\)
Здесь мы пользовались тем, что \(a^{nm}=\left(a^m\right)^n=\left(a^n\right)^m.\)
Покажем ещё один вариант решения:
\[8^{2\log_8{3}}=8^{\log_8{3^2}}=8^{\log_8{9}}=9.\]Здесь мы воспользовались тем, что \(n\log_a{b}=\log_a{b^n}.\)
\(\left(\dfrac{1}{9}\right)^{\log_{\frac{1}{3}}{13}}\).
Решение:
Используя наше свойство, вычислим:
\[\left(\dfrac{1}{9}\right)^{\log_{\frac{1}{3}}{13}}=\left(\left(\dfrac{1}{3}\right)^2\right)^{\log_{\frac{1}{3}}{13}}=\left(\left(\dfrac{1}{3}\right)^{\log_{\frac{1}{3}}{13}}\right)^2=13^2=169.\]Здесь мы пользовались тем, что \(a^{mn}=(a^m)^n=(a^n)^m\).
Покажем ещё один вариант решения:
\[\left(\dfrac{1}{9}\right)^{\log_{\frac{1}{3}}{13}}=\left(\left(\dfrac{1}{3}\right)^2\right)^{\log_{\frac{1}{3}}{13}}=\left(\dfrac{1}{3}\right)^{2\log_{\frac{1}{3}}{13}}=\left(\dfrac{1}{3}\right)^{\log_{\frac{1}{3}}{169}}=169.\]Здесь мы воспользовались тем, что \(n\log_a{b}=\log_a{b^n}.\)
\(25^{\frac{1}{4}\log_5{9}}\).
Используя свойство, вычислим:
\[25^{\frac{1}{4}\log_5{9}}=(5^2)^{\frac{1}{4}\cdot \log_5{3^2}}=5^{2\cdot \frac{1}{4}\cdot 2 \cdot \log_5{3}}=5^{4\cdot \frac{1}{4}\cdot \log_5{3}}=5^{\frac{4}{4}\cdot \log_5{3}}=5^{\log_5{3}}=3.\]Здесь мы пользовались:
\[\log_a{b^n}=n\log_a{b}\,\, (\text{здесь} \,\, b>0),\]\[(a^{m})^n=(a^n)^m=a^{mn}.\]
Свойство 10:
\(\blacktriangleright\) Пример: Вычислите: \(9^{\log_3{8}}\).
Решение:
Используя наше свойство, вычислим: \(9^{\log_3{8}}=8^{\log_3{9}}=8^{2}=64.\)
Свойство 11:
\(\blacktriangleright\) Примеры:
Вычислите \(\log_{6}{2}+\log_6{3}\).
Решение:
Преобразуем наше выражение: \(\log_{6}{2}+\log_{6}{3}=\log_6{2\cdot3}=\log_6{6}=1.\)
Вычислите \(\log_{12}{2}+\log_{12}{8}+\log_{12}{9}.\)
Решение:
Преобразуем наше выражение: \(\log_{12}{2}+\log_{12}{8}+\log_{12}{9}=\log_{12}{(2\cdot 8\cdot 9)}=\log_{12}{144}=2.\)
Свойство 12:
\(\blacktriangleright\) Примеры:
Вычислите: \(\log_8{\dfrac{1}{16}}-\log_8{32}.\)
Решение:
Преобразуем наше выражение:
\[\log_8{\dfrac{1}{16}}-\log_8{32}=\log_8{\dfrac{\frac{1}{16}}{32}}=\log_8{\dfrac{1}{512}}=\log_8{8^{-3}}=-3.\]Вычислите: \(\lg{34}-\lg{2}-\lg{170}.\)
Решение:
Преобразуем наше выражение:
\(\lg{34}-\lg{2}-\lg{170}=\lg{\dfrac{34}{2}}-\lg{170}=\lg{17}-\lg{170}=\lg{\dfrac{17}{170}}=\lg{\dfrac{1}{10}}=\lg{10^{-1}}=-1.\)
Можно было преобразовать разность в одно действие:
\[\lg{34}-\lg{2}-\lg{170}=\lg\left({\dfrac{34}{2\cdot170}}\right)=\lg{\dfrac{1}{10}}=\lg{10^{-1}}=-1.\]
Свойство 13:
\(\blacktriangleright\) Примеры:
Вычислите:
\(\dfrac{\log_3{8}}{\log_3{16}}\).
Решение:
Используя наше свойство, перейдём к новому основанию:
\[\dfrac{\log_3{8}}{\log_3{16}}=\log_{16}{8}=\log_{2^4}{2^3}=\dfrac{3}{4}\log_2{2}=\dfrac{3}{4}.\]\(\dfrac{\log_9{4}+\log_9{36}}{\log_9{12}}\).
Решение:
Используя наше свойство, перейдём к новому основанию:
\[\dfrac{\log_9{4}+\log_9{36}}{\log_9{12}}=\dfrac{\log_9{(4\cdot 36)}}{\log_9{12}}=\dfrac{\log_9{144}}{\log_9{12}}=\log_{12}{144}=2.\]Примечание. Здесь воспользовались тем, что \(\log_a{b}+\log_a{c}=\log_a{(b\cdot c)}.\)
\(\dfrac{\lg{8}+\lg{18}}{2\lg{2}+\lg{3}}\).
Решение:
Используя наше свойство, перейдём к новому основанию:
\[\dfrac{\lg{(8\cdot 18)}}{\lg{2^2}+\lg{3}}=\dfrac{\lg{144}}{\lg{(4\cdot 3)}}=\dfrac{\lg{144}}{\lg{12}}=\log_{12}{144}=2.\]Примечание. Здесь воспользовались тем, что
\[\log_a{b}+\log_a{c}=\log_a{(b\cdot c)},\]\[n\log_a{b}=\log_a{b^n}.\]
Свойство 14:
\(\blacktriangleright\) Примеры:
Найдите \(\log_{\sqrt{8}}{2}\), если известно, что \(\log_2{\sqrt{8}}=\dfrac{3}{2}\).
Решение:
\(\log_{\sqrt{8}}{2}=\dfrac{1}{\log_2{\sqrt{8}}}=\dfrac{2}{3}\).
Вычислите \(5^{\frac{1}{\log_6{5}}}\)
Решение:
Используя наше свойство, получаем:
\(5^{\frac{1}{\log_6{5}}} = 5^{{\log_5{6}}}=6.\)
Вычислите \(25^{\frac{1}{\log_6{5}}}-49^{\frac{1}{\log_8{7}}}\).
Решение:
Используя наше свойство, получаем:
\(25^{\frac{1}{\log_6{5}}}-49^{\frac{1}{\log_8{7}}}=25^{\log_5{6}}-49^{\log_7{8}}=(5^2)^{\log_5{6}}-(7^2)^{\log_7{8}}=5^{2\log_5{6}}-7^{2\log_7{8}}=5^{\log_5{6^2}}-\\-7^{\log_7{8^2}}=5^{\log_5{36}}-7^{\log_7{64}}=36-64=-28.\)
Здесь мы пользовались тем, что
\[a^{mn}=(a^m)^n=(a^n)^m,\]\[n\log_a{b}=\log_a{b^n}.\]Вычислите \(3^{-\frac{4}{\log_2{3}}}+5^{\frac{3}{\log_{\sqrt[3]{3}}{5}}}.\)
Решение:
Используя наше свойство, получаем:
\(3^{-\frac{4}{\log_2{3}}}+5^{\frac{3}{\log_{\sqrt[3]{3}}{5}}}=3^{-4\log_3{2}}+5^{3\log_5{\sqrt[3]{3}}}=3^{\log_3{2^{-4}}}+5^{\log_5{(\sqrt[3]{3})^3}}=2^{-4}+(\sqrt[3]{3})^3=\dfrac{1}{2^4}+3=\\=\dfrac{1}{16}+3=\dfrac{49}{16}.\)
Здесь мы пользовались тем, что:
\[n\log_a{b}=\log_a{b^n}.\]Вычислите \((2^{\log_7{5}})^{\log_5{7}}.\)
Решение:
Используя наше свойство, получаем:
\((2^{\log_7{5}})^{\log_5{7}}=2^{\log_5{7}\cdot \log_7{5}}=2^{\log_5{7}\cdot \frac{1}{\log_5{7}}}=2^1=2.\)
Здесь мы пользовались тем, что
\[a^{mn}=(a^m)^n=(a^n)^m.\]
Свойство 15:
Совпадение аргумента одного логарифма с основанием другого.
\(\blacktriangleright\) Примеры:
Вычислите
\(\log_{7}{9}\cdot\log_{3}{7}\).
Решение:
Используя наше свойство, вычислим: \(\log_{7}{9}\cdot\log_{3}{7}=\log_3{7}\cdot \log_7{9}=\log_{3}{9}=2.\)
\(\log_3{2}\cdot \log_4{3}\cdot \log_5{4}\cdot \log_6{5}\cdot \log_7{6}\cdot \log_8{7}\).
Решение:
Перепишем наше выражение в более удобном виде и используем наше свойство:
\(\log_3{2}\cdot \log_4{3}\cdot \log_5{4}\cdot \log_6{5}\cdot \log_7{6}\cdot \log_8{7}=\log_8{7}\cdot \log_7{6}\cdot \log_{6}{5}\cdot \log_5{4}\cdot \log_4{3}\cdot \log_3{2}=\)
\(=\log_8{6}\cdot \log_6{5}\cdot \log_5{4}\cdot \log_4{3}\cdot \log_3{2}=\log_8{5}\cdot \log_5{4}\cdot \log_4{3}\cdot \log_3{2}=\log_8{4}\cdot \log_4{3}\cdot \log_3{2}=\)
\(=\log_8{3}\cdot \log_3{2}=\log_8{2}=\frac{1}{3}.\)
Свойство 16:
\(\blacktriangleright\) Примеры.
Вычислите \(\log_{3}{\dfrac{1}{8}}\cdot \log_{2}{27}\).
Решение:
Преобразуем наше выражение:
\[\log_{3}{\dfrac{1}{8}}\cdot \log_{2}{27}=\log_{2}{\dfrac{1}{8}}\cdot\log_{3}{27}=\log_{2}{2^{-3}}\cdot\log_{3}{3^{3}}=-3\cdot3=-9.\]Вычислите \(\log_{0,8}{3}\cdot \log_3{1,25}\).
Решение:
Преобразуем наше выражение:
\[\log_{0,8}{3}\cdot \log_3{1,25}=\log_{0,8}{1,25}\cdot \log_3{3}=\log_{\frac{4}{5}}{\dfrac{5}{4}}=-1.\]
Задачи на применение свойств логарифмов
В этом разделе будут разобраны задачи на комбинацию различных свойств логарифмов.
\(\blacktriangleright\) Задача 1. Примеры.
Вычислите \(\log_{5\sqrt{5}}{\dfrac{1}{125\sqrt{5}}}.\)
Решение:
Преобразуем наше выражение:
\(\log_{5\sqrt{5}}{\dfrac{1}{125\sqrt{5}}}=\log_{5\cdot 5^{\frac{1}{2}}}{\dfrac{1}{5^3\cdot5^{\frac{1}{2}}}}=\log_{5^{\frac{3}{2}}}{5^{-\frac{7}{2}}}=-\dfrac{\frac{7}{2}}{ \frac{3}{2}}\log_5{5}=-\dfrac{7}{3}.\)
Вычислите \(\log_{3\sqrt{2}}{54\sqrt{2}}.\)
Решение:
Преобразуем наше выражение:
\(\log_{3\sqrt{2}}{(27\cdot2\sqrt{2})}=\log_{3\cdot \sqrt{2}}{(3^3\cdot \sqrt{2}^{3})}=\log_{3\cdot \sqrt{2}}{({3\cdot \sqrt{2}})^{3}}= 3.\)
\(\blacktriangleright\) Задача 2. Примеры.
Вычислите \(\dfrac{9^{\log_5{50}}}{9^{\log_5{2}}}.\)
Решение:
Воспользуемся свойством степени: \(\dfrac{a^m}{a^n}=a^{m-n}.\)
Здесь мы использовали:
\(\blacktriangleright\) Задача 3. Примеры.
Вычислите \(\log_{0,2}{(\sqrt{32}+\sqrt{7})}+\log_{0,2}{(\sqrt{32}-\sqrt{7}).}\)
Решение:
Воспользуемся свойством:
\[\log_a{b}+\log_{a}{c}=\log_a{(b\cdot c)}.\]\(\log_{0,2}{(\sqrt{32}+\sqrt{7})}+\log_{0,2}{(\sqrt{32}-\sqrt{7})}=\log_{0,2}{(\sqrt{32}+\sqrt{7})(\sqrt{32}-\sqrt{7})}=\log_{0,2}{(32-7)}=\\=\log_{0,2}{25}=\log_{0,2}{5^2}=\log_{5^{-1}}{5^2}=\dfrac{2}{-1}\log_{5}{5}=-2.\)
Здесь мы воспользовались тем, что \((a-b)(a+b)=a^2-b^2.\)
Вычислите \(\log_{13}{(2+\sqrt[3]{5})}+\log_{13}{(4-2\sqrt[3]{5}+\sqrt[3]{25})}.\)
Решение:
Используя свойство \(\log_a{b}+\log_a{c}=\log_a{(b\cdot c)}\), получим:
\(\log_{13}{(2+\sqrt[3]{5})}+\log_{13}{(4-2\sqrt[3]{5}+\sqrt[3]{25})}=\log_{13}{\left((2+\sqrt[3]{5})(4-2\sqrt[3]{5}+\sqrt[3]{25})\right)}=\\=\log_{13}{(2^3+(\sqrt[3]{5})^3)}=\log_{13}{(8+5)}=\log_{13}{13}=1.\)
Здесь мы воспользовались тем, что \((a+b)(a^2-a\cdot b+b^2)=a^3+b^3.\)
\(\blacktriangleright\) Задача 4. Примеры.
Вычислите
1 способ решения:
Заметим, что
\(\log_4{36}=\log_4{(9\cdot 4)}=\log_4{9}+\log_{4}{4}=\log_4{9}+1,\)
\(\log_9{36}=\log_9{(9\cdot 4)}=\log_9{9}+\log_9{4}=1+\log_9{4}.\)
Здесь мы воспользовались тем, что:
Тогда
\((1-\log_4{36})(1-\log_9{36})=(1-(\log_4{9}+1))(1-(1+\log_9{4}))=(1-\log_4{9}-1)(1-1-\log_9{4})=(-\log_4{9})(-\log_9{4})=\log_4{9}\cdot \log_9{4}=\log_4{9}\cdot \dfrac{1}{\log_4{9}}=\dfrac{\log_4{9}}{\log_4{9}}=1.\)
Здесь мы воспользовались тем, что
2 способ решения:
Упростим выражения в скобках, затем используем формулу
\((\log_4{4}-\log_4{36})(\log_9{9}-\log_{9}{36})=\log_4{\dfrac{4}{36}}\cdot \log_9{\dfrac{9}{36}}=\log_4{\dfrac{1}{9}}\cdot \log_9{\dfrac{1}{4}}=\log_4{\dfrac{1}{4}}\cdot \log_9{\dfrac{1}{9}}=-1\cdot (-1)=1.\)
\(\blacktriangleright\) Задача 5. Примеры.
Вычислите
Решение:
К какому основанию удобно привести эти логарифмы?
Попробуем привести их к основанию \(7\).
Нам поможет свойство:
\(\dfrac{1}{4}\log_{\sqrt{7}}{36}-\log_7{14}+3\log_{\frac{1}{7}}{\sqrt[3]{21}}=\dfrac{1}{4}\log_{7^{\frac{1}{2}}}{36}-\log_7{14}+3\log_{7^{-1}}{\sqrt[3]{21}}=\dfrac{\frac{1}{4}}{\frac{1}{2}}\log_7{36}-\log_7{14}+\\+\dfrac{3}{-1}\log_7{\sqrt[3]{21}}=\dfrac{2}{4}\log_7{36}-\log_7{14}-3\log_7{\sqrt[3]{21}}.\)
Теперь воспользуемся свойствами:
Получим
\(\dfrac{1}{2}\log_{7}{36}-\log_7{14}-3\log_{7}{\sqrt[3]{21}}=\log_{7}{(36)^{\frac{1}{2}}}-\log_7{14}-\log_7{(\sqrt[3]{21})^3}=\log_7{6}-\log_7{14}-\log_7{21}=\\=\log_7{\dfrac{6}{14\cdot 21}}=\log_7{\dfrac{1}{49}}=\log_7{7^{-2}}=-2.\)
\(\blacktriangleright\) Задача 6. Примеры.
Найдите значение \(x\) из условия:
\[\lg{x}=\lg{7}-\lg{3}+\lg{8}.\]Решение:
\(\lg{x}=\lg{\left(\dfrac{7\cdot 8}{3}\right)},\)
\(\lg{x}=\lg{\dfrac{56}{3}},\)
\(x=\dfrac{56}{3}.\)
Найдите значение \(x\) из условия:
\[\log_5{x}=2\log_5{3}+\dfrac{1}{2}\log_5{49}-\dfrac{1}{3}\log_5{27}.\]Решение:
\(\log_5{x}=\log_5{3^2}+\log_5{49^{\frac{1}{2}}}-\log_5{27^{\frac{1}{3}}},\)
\(\log_5{x}=\log_5{9}+\log_5{(7^2)^{\frac{1}{2}}}-\log_5{(3^3)^{\frac{1}{3}}},\)
\(\log_5{x}=\log_5{9}+\log_5{7}-\log_5{3},\)
\(\log_5{x}=\log_5{\dfrac{9\cdot 7}{3}},\)
\(\log_5{x}=\log_5{21},\)
\(x=21.\)
\(\blacktriangleright\) Задача 7. Примеры.
Вычислите \(\dfrac{\log_7{3}+\log_7{9}}{\log_7{81}-\log_7{27}}.\)
Решение:
Пользуясь свойствами 11 и 12, выполним преобразования:
\(\dfrac{\log_7{3}+\log_7{9}}{\log_7{81}-\log_7{27}} = \dfrac{\log_7{(3\cdot9)}}{\log_7{(81:27)}} = \dfrac{\log_7{27}}{\log_7{3}}.\)
А из свойства 13 следует преобразование:\[\dfrac{\log_7{27}}{\log_7{3}} = \log_3{27} .\]Далее вычисляем \(\log_3{27} = \log_3{3^{3}} = 3.\)
Вычислите \(\dfrac{\log_2{5}-\log_2{\sqrt{10}}}{\log_2{20}-3\log_2{2}}.\)
Решение:
Пользуясь свойством 12, выполним преобразования:
\(\dfrac{\log_2{5}-\log_2{\sqrt{10}}}{\log_2{20}-3\log_2{2}}=\dfrac{\log_2{5}-\log_2{\sqrt{10}}}{\log_2{20}-\log_2{2^3}}=\dfrac{\log_2{\frac{5}{\sqrt{10}}}}{\log_2{\frac{20}{8}}}=\dfrac{\log_2{\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}}}}{\log_2{\frac{5}{2}}}.\)
А из свойства 13 следует преобразование:
\[\dfrac{\log_2{\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}}}}{\log_2{\frac{5}{2}}}=\log_{\frac{5}{2}}{\sqrt{\dfrac{5}{2}}}=\dfrac{1}{2}.\]
\(\blacktriangleright\) Задача 8. Примеры.
Вычислите
Решение:
\(\dfrac{\log_6{12}-\frac{1}{3}\log_6{48}}{\log_5{15}-\frac{1}{2}\log_5{45}}=\dfrac{\log_6{12}-\log_6{48^{\frac{1}{3}}}}{\log_5{15}-\log_5{45^{\frac{1}{2}}}}=\dfrac{\log_6{\frac{12}{\sqrt[3]{48}}}}{\log_5{\frac{15}{\sqrt{45}}}}=\dfrac{\log_6{\frac{12}{2\sqrt[3]{6}}}}{\log_5{\frac{15}{3\sqrt{5}}}}=\dfrac{\log_6{\sqrt[3]{36}}}{\log_5{\sqrt{5}}}=\dfrac{\frac{1}{3}\log_6{36}}{\frac{1}{2}\log_5{5}}=\\=\dfrac{2\cdot \log_6{6^2}}{3\cdot 1}=\dfrac{2\cdot 2}{3}=\dfrac{4}{3}.\)
\(\blacktriangleright\) Задача 9. Примеры.
Вычислите
\[\log_4{\log_5{25}}.\]Решение:
В этом примере мы берем логарифм от числа, которое тоже записано в виде логарифма. Выполним преобразования: \(\log_4{\log_5{25}}=\log_4{2}=\log_{2^2}{2}=\dfrac{1}{2}.\)
Вычислите
\[\log_5{\log_3{243}}.\]Решение:
Подобная запись означает, что логарифмируемое выражение первого логарифма само по себе является логарифмом.
Сначала вычислим его: \(\log_3{243}=5.\)
Тогда \(\log_5{\log_3{243}}=\log_5{5}=1.\)
Вычислите
\[\log^3_{\sqrt{2}}{\log_3{81}}.\]Решение:
Вычислим сначала \(\log_{3}{81}=4.\)
Тогда \(\log^3_{\sqrt{2}}{\log_3{81}}=(\log_{\sqrt{2}}{\log_3{81}})^3=(\log_{\sqrt{2}}{4})^3=(\log_2{16})^3=4^3=64.\)
Здесь мы воспользовались тем, что:
\[\log_a{b}=\log_{a^2}{b^2}.\]
\(\blacktriangleright\) Задача 10. Примеры.
Вычислите
Решение:
Пользуясь свойством 13 выполним преобразование: \(\dfrac{\log_{10}{0,5}}{\log_{10}{7}}+\log_7{2} = \log_7{0,5}+\log_7{2} .\)
А из свойства 11 следует преобразование: \(\log_7{0,5}+\log_7{2} = \log_7{(0,5\cdot 2)}=\log_7{1}=0.\)
\(\blacktriangleright\) Задача 11. Примеры.
Вычислите
Решение:
По свойству \(\dfrac{1}{\log_b{a}}=\log_a{b}\)
По свойству \(\log_a{(b\cdot c)}=\log_a{b}+\log_a{c}\) (здесь \(b>0\) и \(c >0\))
Таким образом получаем:
\(\dfrac{\log_2{40}}{\lg{2}}-\dfrac{\log_{2}{5}}{\log_{80}{2}}=\log_2{40}\cdot \log_2{10}-\log_2{5}\cdot \log_2{80}=(\log_2{(8\cdot 5)})\log_2{(2\cdot 5)}-\log_2{5}\log_2{(16\cdot 5)}=\\\\=(\log_2{8}+\log_2{5})(\log_2{2}+\log_2{5})-\log_2{5}(\log_2{16}+\log_2{5})=(\log_2{2^3}+\log_2{5})(1+\log_2{5})-\\\\-\log_2{5}(\log_2{2^4}+\log_2{5})=(3+\log_2{5})(1+\log_2{5})-\log_2{5}\cdot (4+\log_2{5})=3+\log_2{5}+3\log_2{5}+\\ \\+\log^2_2{5}-4\log_2{5}-\log^2_2{5}=3.\)
\(\blacktriangleright\) Задача 12. Примеры.
Найдите \(\log_a{(a^2b^9)}\), если \(\log_a{b}=-4.\)
Решение:
Выполним преобразования:
\[\log_a{(a^2b^9)}=\log_a{a^2}+\log_a{b^9}=2\log_a{a}+9\log_a{b}=2+9\cdot(-4)=-34.\]Найдите значение выражения \(\log_a{(ab^3)}\), если \(\log_b{a}=\dfrac{1}{7}\).
Решение:
Используя свойства
\[\log_a{(b\cdot c)}=\log_a{b}+\log_a{c}\,\, (\text{здесь}\,\, b>0,c>0),\]\[\log_a{b^n}=n\log_a{b}\,\, (\text{здесь}\,\, b>0),\]получим
\[\log_a{(ab^3)}=\log_a{a}+\log_a{b^3}=\log_a{a}+3\log_a{b}=1+3\log_a{b}.\]
Найдём \(\log_a{b}\), для этого вспомним свойство:\[\log_b{a}=\dfrac{1}{\log_a{b}}.\]Значит по условию:
\[\dfrac{1}{\log_a{b}}=\dfrac{1}{7} \Leftrightarrow \log_a{b}=7.\]Окончательно имеем:
\[\log_a{(ab^3)}=1+3\log_a{b}=1+3\cdot7=1+21=22.\]
\(\blacktriangleright\) Задача 13. Примеры.
Известно, что \(\log_5{7}=a\). Найдите \(\log_7{125}.\)
Решение:
Преобразуем выражение, которое нам нужно найти:
\(\log_7{125}=\log_7{5^3}=3\log_7{5}.\)
Вспомним свойство
\[\log_b{a}=\dfrac{1}{\log_a{b}}.\]Тогда \(3\log_7{5}=3\cdot \dfrac{1}{\log_5{7}}=\dfrac{3}{a}.\)
Известно, что \(\log_6{7}=a\). Найдите \(\log_{36}{343}\).
Решение:
Преобразуем выражение, которое нам нужно найти:
\(\log_{36}{343}=\log_{6^2}{7^3}=\dfrac{3}{2}\log_{6}{7}=\dfrac{3}{2}a.\)
Здесь мы воспользовались тем, что \(\log_{a^m}{b^k}=\dfrac{k}{m}\log_a{b}\).
Известно, что \(\lg{3}=a,\,\, \lg{7}=b\). Найдите \(\log_9{63}\).
Решение:
Вспомним свойство
\[\log_a{b}=\dfrac{\log_c{b}}{\log_c{a}}.\]Если взять \(c=10\), то оно примет вид:
\[\log_a{b}=\dfrac{\lg{b}}{\lg{a}}.\]Применив, получим
\[\log_{9}{63}=\dfrac{\lg{63}}{\lg{9}}=\dfrac{\lg{(9\cdot 7)}}{\lg{(3^2)}}=\dfrac{\lg{9}+\lg{7}}{2\lg{3}}=\dfrac{2\lg{3}+\lg{7}}{2\lg{3}}=\dfrac{2a+b}{2a}.\]Здесь мы воспользовались тем, что
\[\log_a{(b\cdot c)}=\log_a{b}+\log_a{c}\,\, \text{(при } b>0, c>0),\]\[\log_a{b^k}=k\log_a{b}\,\, \text{(при } b>0).\]Известно, что \(\log_3{5}=a,\,\, \log_3{7}=b\). Найдите \(\log_{25}{105}\).
Решение:
Вспомним свойство
\[\log_a{b}=\dfrac{\log_c{b}}{\log_c{a}}.\]Применив, получим
\[\log_{25}{105}=\dfrac{\log_3{105}}{\log_3{25}}=\dfrac{\log_3{(3\cdot 5\cdot 7)}}{\log_3{(5^2)}}=\dfrac{\log_3{3}+\log_3{5}+\log_3{7}}{2\log_3{(5)}}=\dfrac{1+a+b}{2a}.\]Здесь мы воспользовались тем, что
\[\log_a{(b\cdot c)}=\log_a{b}+\log_a{c}\,\, \text{(при } b>0, c>0),\]\[\log_a{b^k}=k\log_a{b}\,\, \text{(при } b>0).\]
\(\blacktriangleright\) Задача 14. Примеры.
Вычислите
\[3^{2\log_{3}{\sqrt{17}}}-7^{\frac{1}{2}\log_{\sqrt{7}}{16}}-0,2^{-4\log_{0,2}{\frac{1}{2}}}.\]Решение:
Преобразуем каждое слагаемое по отдельности. Для упрощения первого слагаемого воспользуемся свойствами:\[\log_{a}{b^k}=k\log_a{b},\]\[a^{\log_{a}{b}}=b.\]Тогда \(3^{2\log_{3}{\sqrt{17}}}=3^{\log_{3}{\left(\sqrt{17}\right)^2}}=3^{\log_{3}{17}}=17.\)
Ко второму слагаемому применим свойство:\[\log_{a^m}{b}=\dfrac{1}{m}\log_{a}{b}.\]Тогда \(7^{\frac{1}{2}\log_{\sqrt{7}}{16}}=7^{\frac{1}{2}\log_{7^{\frac{1}{2}}}{16}}=7^{\dfrac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}}\log_{7}{16}}=16.\)
Для упрощения третьего слагаемого вспомним, что \(a^n=\dfrac{1}{a^{-n}},\) следовательно
\[{0,2}^{-4\log_{0,2}{\frac{1}{2}}}={0,2}^{\log_{0,2}{\left(\frac{1}{2}\right)^{-4}}}=\left(\frac{1}{2}\right)^{-4}=2^4=16.\]Окончательно имеем: \(17-16-16=-15.\)
Вычислите
\[5^{{\log_{5}{16}}-2}+4^{3+\log_4{5}}.\]Решение:
Аналогично предыдущему примеру, упростим каждое слагаемое по отдельности. Для упрощения первого вспомним свойство степени \(a^{n-m}=\dfrac{a^n}{a^m},\) тогда имеем\[5^{\log_5{16}-2}=\dfrac{5^{\log_5{16}}}{5^2}=\dfrac{16}{25}.\]Упростим второе слагаемое, но прежде вспомним, что \(a^{n+m}=a^n\cdot a^m\)
\[4^{3+\log_4{5}}=4^3\cdot 4^{\log_4{5}}=64\cdot 5=320.\]Теперь найдем сумму слагаемых \(\dfrac{16}{25}+320=0,64+320=320,64.\)
\(\blacktriangleright\) Задача 15. Примеры.
Вычислите
\[\log_{\sqrt{6}}{2}+2\log_6{\sqrt{54}}.\]Решение:
Воспользуемся свойством \(\log_{a}{b}+\log_{a}{c}=\log_a{\left(b\cdot c\right)},\) но прежде упростим слагаемые\[\log_{\sqrt{6}}{2}=\log_{6^{\frac{1}{2}}}{2}=\dfrac{1}{\frac{1}{2}}\log_{6}{2}=2\log_6{2}=\log_{6}{4},\]\[2\log_6{\sqrt{54}}=\log_{6}{\left(\sqrt{54}\right)^2}=\log_{6}{54}.\]В итоге получаем
\[\log_{6}{4}+\log_{6}{54}=\log_{6}{216}=3.\]Вычислите
\[\log_{49}{9}-\log_{\sqrt{7}}{\sqrt{21}}.\]Решение:
Вспомним свойство \(\log_{a^n}{b^n}=\log_{a}{b},\) тогда\[\log_{7^2}{3^2}-\log_{7^{\frac{1}{2}}}{21^{\frac{1}{2}}}=\log_{7}{3}-\log_{7}{21}=\log_{7}{\dfrac{3}{21}}=\log_{7}{\dfrac{1}{7}}=-1.\]Здесь мы воспользовались тем, что
\[\log_{a}{\dfrac{b}{c}}=\log_{a}{b}-\log_{a}{c},\,\, \text{где } b>0, c>0, a>0, a\neq 1.\]
\(\blacktriangleright\) Задача 16. Примеры.
Вычислите
\[\log_{5\sqrt{5}}{8}\cdot \log_4{25}-6^{\log_{\frac{1}{6}}{2}}.\]Решение:
Напомним, что \(5\sqrt{5}=5^1\cdot 5^{\frac{1}{2}}=5^{1+\frac{1}{2}}=5^{\frac{3}{2}}.\) Получим\[\log_{5^{\frac{3}{2}}}{8}\cdot \log_{2^2}{5^2}-6^{\log_{6^{-1}}{2}}=\dfrac{1}{\frac{3}{2}}\log_{5}{2^3}\cdot \log_{2}{5}-6^{\frac{1}{-1}\log_{6}{2}}=\]\[=\dfrac{2}{3}\cdot 3\log_{5}{2}\cdot \log_{2}{5}-6^{\log_{6}{\frac{1}{2}}}=2\cdot \log_5{2}\cdot\dfrac{1}{\log_{5}{2}}-\dfrac{1}{2}=2-0,5=1,5.\]Здесь мы воспользовались свойством
\[\log_{a}{b}=\dfrac{1}{\log_b{a}}.\]
Логарифмическая функция
Полное обоснование построения графика логарифмической функции \(y = \log_a x\) (здесь основание \(a\) является постоянным, а \(x\) — переменная) — довольно сложная задача, выходящая за рамки данной методички. Однако для решения уравнений и неравенств достаточно понимать качественный характер поведения функции. На рисунке представлены графики логарифмических функций для двух принципиально различных случаев: \(a > 1\) и \(0 < a < 1\).
Графики логарифмической функции в зависимости от основания
Обратите внимание, что в обоих случаях график проходит через точку \((1,0)\), а его монотонность определяется основанием: при \(a > 1\) функция возрастает, а при \(0 < a < 1\) — убывает.
Простейшие логарифмические уравнения
Стандартное решение логарифмического уравнения состоит из двух частей: работы с ОДЗ (областью допустимых значений переменной \(x\)) и преобразования самого уравнения. Начнём с первой части. Как определять ОДЗ?
Рассмотрим логарифмическую функцию:
Для нахождения ОДЗ уравнения необходимо найти области определения всех входящих в него функций и пересечь их.
\(\blacktriangleright\) Примеры к Задаче 1 на нахождение ОДЗ.
Найти область определения функции
\[y=\log_5{3x}.\]Решение:
Для нахождения области определения функции проверим выполнение трех условий.\[y=\log_{a}{f(x)}, \,\,\ D(y): \begin{cases} f(x)>0, \\ a>0, \\ a\neq1.\\ \end{cases}\]Второе и третье условия выполнены, так как \(a=5, 5>0\) и \(5\neq 1\), значит, остаётся записать первое условие \(3x>0.\) В итоге получаем \(x>0,\) то есть \(D(y):x>0\).
Найти область определения функции
\[y=\log_{\frac{1}{2}}{\left(6-7x\right)}.\]Решение:
Будем проверять выполнение трёх условий для того, чтобы найти область определения. Второе и третье условия выполнены, так как \(a={\dfrac{1}{2}}, \dfrac{1}{2}>0, \dfrac{1}{2}\neq 1.\) Запишем первое условие \(6-7x>0,\) получаем \(x<\dfrac{6}{7}.\) Тогда ответом является \(D(y):x\in\left(-\infty;\dfrac{6}{7}\right).\)Найти область определения функции
\[y=\log_7{\left(x^2-9\right)}.\]Решение:
Аналогично предыдущим примерам, проверяем условия для нахождения области определения: \(a=7, 7>0, 7\neq1\) и аргумент логарифма должен быть положительным \(x^2-9>0,\) следовательно \(\left(x-3\right)\cdot\left(x+3\right)>0,\) то есть \(D(y):x\in\left(-\infty;-3\right)\cup\left(3;+\infty\right).\)Найти область определения функции
\[y=\log_{10-x}{12}.\]Решение:
Первое условие выполнено, так как \(12>0.\) Второе и третье условия должны выполняться одновременно:\[\begin{cases} 10-x>0, \\ 10-x\neq 1; \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} -x>-10, \\ -x\neq 1-10; \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x<10, \\ x\neq 9; \end{cases} \Leftrightarrow D(y): x \in (-\infty; 9)\cup(9;10).\]Найти область определения функции
\[y=\log_{x+1}{(2-x)}.\]Решение:
В данном примере и основание, и аргумент содержат переменную \(x\), поэтому запишем полную систему неравенств:\[\begin{cases} 2-x>0, \\ x+1\neq 1, \\ x+1>0; \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x<2, \\ x\neq 0, \\ x>-1; \end{cases} \Leftrightarrow D(y): x \in (-1; 0)\cup(0;2).\]
\(\blacktriangleright\) Задача 2. Примеры.
Решить уравнение
\[\log_{5}\left(17-x\right)=\log_{5}3.\]Решение:
Запишем ОДЗ: \(17-x>0\), следовательно, \(x<17.\) Перейдем к решению уравнения. Так как основания логарифмов одинаковые, то можем их опустить:
\[\log_{5}\left(17-x\right)=\log_{5}3 \Longrightarrow 17-x=3 \Longrightarrow x=17-3=14.\]Заметим, что \(x=14\) удовлетворяет ОДЗ, так как \(14<17.\) Значит, 14 — корень.
Примечание: Если просто отбросить логарифмы в обеих частях решенного выше уравнения, то получим равенство их аргументов \(17-x=3\). Мы знаем, что аргументы логарифмов должны быть положительны. В правой части 3, т.е. положительное число, а значит и \(17-x\) будет больше нуля и все найденные корни уравнения нам подходят. В данном случае проверка избыточна. НО: никогда не отбрасывайте логарифмы без внимательного анализа ОДЗ, если бы вместо 3 в правой части было бы отрицательное число, то игнорирование ОДЗ привело бы к неправильному решению!
Решить уравнение
\[\log_{6}\left(x+5\right)=\log_{6}\left(2x-8\right).\]Решение:
В уравнении несколько логарифмов с разными аргументами, поэтому начнём решение с записи области допустимых значений (ОДЗ) переменной уравнения.
Аргументы всех логарифмов уравнения должны быть положительными, следовательно, \(x+5>0\) и \(2x-8>0,\) а значит \(x>-5\) и \(x>4\) и получим, что \(x>4\), это и есть ОДЗ.
Вернёмся к уравнению \(\log_{6}\left(x+5\right)=\log_{6}\left(2x-8\right).\)
Так как основания логарифмов одинаковые, то можем их опустить:
\[\log_{6}\left(x+5\right)=\log_{6}\left(2x-8\right) \Longrightarrow x+5=2x-8 \Longrightarrow x=13.\]Заметим, что \(x=13\) удовлетворяет ОДЗ, т.к. \(13>4.\) Значит, 13 — корень.
Примечание: В отличие от первого примера, во втором "отбрасывание" логарифмов приводит к равенству двух выражений с переменной, а следовательно, мы не можем судить об их знаке, поэтому возникает необходимость записать ОДЗ.
\(\blacktriangleright\) Задача 3. Примеры. Решить уравнение
Решение: Вспомним, что \(n\log_{a}{b}=\log_{a}{b^n}\):
Основания логарифмов одинаковые, поэтому можем их опустить:
\(\blacktriangleright\) Задача 4. Примеры.
Решить уравнение
\[\log_{6}\left(-11x-8\right)=2.\]Решение:
В левой части уравнения логарифм по основанию 6, а справа число 2. Представим число 2 также в виде логарифма по основанию 6.
Выполним преобразования \(2=2 \cdot 1=2 \cdot \log_{6}6=\log_{6}6^2=\log_{6}36\).
Тогда уравнение можно переписать в виде
\[\log_{6}\left(-11x-8\right)=\log_{6}36.\]Так как основания логарифмов одинаковые, то можем их опустить. Получим
\[\log_{6}\left(-11x-8\right)=\log_{6}36 \Longrightarrow -11x-8=36 \Longrightarrow -11x=44 \Longrightarrow x=-4.\]В этом примере "отбрасывание" логарифмов приводит к равенству двух выражений, одно из которых 36, следовательно, не будет посторонних корней. Единственный корень уравнения равен \(-4\).
\(\blacktriangleright\) Задача 5. Примеры.
Решить уравнение
\[\log_5 \left(2 +5x\right)=\log_5 \left(1 -5x\right) +1\]Решение:
В уравнении несколько логарифмов с разными аргументами, поэтому начнём решение с записи ОДЗ. Аргументы всех логарифмов уравнения должны быть положительными, следовательно,
\[\begin{cases} 2+5x>0, \\ 1-5x>0; \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 5x>-2, \\ 5x<1; \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x>-0,4, \\ x<0,2; \end{cases} \Leftrightarrow x \in (-0,4; 0,2).\]Вернёмся к уравнению. Представим \(1\) в виде \(\log_5{5}\). Тогда
\[\log_5 \left(2 +5x\right)=\log_5 \left(1 -5x\right) + \log_5{5} .\]Воспользуемся свойством \(\log_a{b}+\log_a{c}=\log_a{(b\cdot c)}\) и получим
\[\log_5 \left(2 +5x\right)=\log_5 {\left(\left(1 -5x\right)\cdot 5\right)}.\]Основания логарифмов одинаковые, поэтому можем их опустить:
\[2+5x=(1-5x)\cdot 5 \Longrightarrow 2+5x=5-25x \Longrightarrow 30x=3 \Longrightarrow x=\dfrac{3}{30}=\dfrac{1}{10}=0,1.\]Проверим ОДЗ: \(0,1 \in (-0,4; 0,2)\), следовательно, \(0,1\) — корень уравнения.
Решить уравнение
\[\log_{16} 2 ^ {4x+6} = 3.\]Решение:
Преобразуем сначала левую часть уравнения
\[\log_{16} 2 ^ {4x+6}=\log_{2^4}{2^{4x+6}}.\]Воспользуемся свойством \(\log_{a^{n}}{a^{m}}=\dfrac{m}{n}\log_{a}{a}=\dfrac{m}{n}:\)
\[\log_{2^4}{2^{4x+6}}=\dfrac{4x+6}{4}\log_2{2}=\dfrac{2x+3}{2}.\]Подставим полученное выражение в уравнение, получим
\[\dfrac{2x+3}{2}=3 \Longrightarrow 2x+3=6 \Longrightarrow x=\dfrac{3}{2}=1,5.\]Решить уравнение
\[3^{\log_{27}{(7x-6)}}=8.\]Решение:
Преобразуем левую часть уравнения
\[3^{\log_{27}{(7x-6)}}=3^{\log_{3^3}{(7x-6)}}=3^{\frac{1}{3}\log_3{(7x-6)}}=3^{\log_3{(7x-6)^{\frac{1}{3}}}}.\]Тогда получим
\[3^{\log_3{(7x-6)^{\frac{1}{3}}}}=8.\]Из тождества \(a^{\log_a{b}}=b\) получаем:
\[(7x-6)^{\frac{1}{3}}=8.\]Возводим обе части в 3 степень:
\[\left((7x-6)^{\frac{1}{3}}\right)^3=8^3,\]\[7x-6=512 \Longrightarrow 7x=518 \Longrightarrow x=74.\]
\(\blacktriangleright\) Задача 6. Примеры.
Решить уравнение \({\log_{x-1} 16=2}\). Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите меньший из корней.
Решение:
1 способ.
Запишем ОДЗ. Заметим, что в основании логарифма есть переменная \(x\), следовательно, \(x>1\) и \(x \neq 2.\)
Представим уравнение \({\log_{x-1} 16=2}\) в виде \((x-1)^2=16\) (воспользовались определением логарифма). Тогда, раскрыв квадрат по формуле квадрата разности и приведя подобные, получим
Проверим ОДЗ:
1) \(x_1=5\): \(5>1\) и \(5 \neq 2,\) следовательно, \(5\) — корень.
2) \(x_2=-3\): \(-3>1\) — неверно, следовательно, \(-3\) — не является корнем.
Единственный корень уравнения равен 5.
2 способ.
Преобразуем левую часть уравнения, используя свойства логарифма:
\({\log_{x-1} 16=\log_{x-1} 4^2=2 \cdot\log_{x-1} 4.}\) Вернёмся к исходному уравнению, разделим обе его части на 2, получим
Используя определение логарифма, представим уравнение в виде
Методы сравнения логарифмов
Базовые логарифмические неравенства
Решение неравенств во многом похоже на решение уравнений и по сути состоит из тех же двух этапов: нахождение ОДЗ и преобразования неравенства. Однако есть очень существенное отличие — необходимо следить за знаком самого неравенства при ''отбрасывании'' логарифмов.
Напомним, что логарифмическая функция возрастает при \(a>1\) и убывает — при \(0<a<1\). Поэтому если вы отбрасываете логарифм с основанием больше 1, то знак неравенства не меняется; в противном случае — меняется на противоположный (''>'' на ''<''; ''<'' на ''>''; ''\(\le\)'' на ''\(\ge\)''; ''\(\ge\)'' на ''\(\le\)''). Схематично это можно описать так:
если \(a > 0\), \(b > 0\) и \(c > 1\), то
если \(a > 0\), \(b > 0\) и \(0 < c < 1\), то
Решите неравенство
\[\log_{3}\left(25-x\right)>\log_{3}7.\]Решение:
Запишем ОДЗ: \(25-x>0\), следовательно, \(x<25.\) Перейдем к решению неравенства. Так как основания логарифмов одинаковые и равны \(3>1\), то логарифмическая функция возрастает, следовательно, при переходе к аргументам знак неравенства сохраняется:
\[\log_{3}\left(25-x\right)>\log_{3}7 \Longrightarrow 25-x>7 \Longrightarrow -x>-18 \Longrightarrow x<18.\]С учётом ОДЗ (\(x<25\)) получаем окончательный ответ: \(x<18\), то есть \(x\in(-\infty;\,18)\).
Решите неравенство
\[\log_{\frac{1}{2}}\left(3x+5\right)>\log_{\frac{1}{2}}\left(x+13\right).\]Решение:
Запишем ОДЗ: \(3x+5>0\) и \(x+13>0,\) а значит \(x>-\frac{5}{3}\) и \(x>-13\), следовательно, \(x>-\frac{5}{3}\).
Вернёмся к неравенству \(\log_{\frac{1}{2}}\left(3x+5\right)>\log_{\frac{1}{2}}\left(x+13\right).\)
Так как основания логарифмов одинаковые и равны \(\frac{1}{2}<1\), то функция убывает, следовательно, при переходе к аргументам знак неравенства меняется на противоположный:
\[\log_{\frac{1}{2}}\left(3x+5\right)>\log_{\frac{1}{2}}\left(x+13\right) \Longrightarrow 3x+5<x+13 \Longrightarrow 2x<8 \Longrightarrow x<4.\]С учётом ОДЗ (\(x>-\frac{5}{3}\)) получаем ответ: \(-\frac{5}{3}<x<4\), то есть \(x\in\left(-\frac{5}{3};\,4\right)\).
Решите неравенство
\[\log_{8}\left(x+12\right)\le \log_{8}\left(3x-6\right).\]Решение:
Запишем ОДЗ: \(x+12>0\) и \(3x-6>0,\) а значит \(x>-12\) и \(x>2\), следовательно, \(x>2\).
Так как основания логарифмов одинаковые и равны \(8>1\), то функция возрастает, знак неравенства сохраняется:
\[\log_{8}\left(x+12\right)\le \log_{8}\left(3x-6\right) \Longrightarrow x+12\le 3x-6 \Longrightarrow -2x\le -18 \Longrightarrow x\ge 9.\]С учётом ОДЗ (\(x>2\)) получаем ответ: \(x\ge 9\), то есть \(x\in[9;\,+\infty)\).
\(\blacktriangleright\) Задача 2. Пример. Решите неравенство
Решение: Вспомним, что \(n\log_{a}{b}=\log_{a}{b^n}\):
Основания логарифмов одинаковые и равны \(5>1\), поэтому знак неравенства сохраняется:
Проверим ОДЗ: \(23-3x>0 \Longrightarrow -3x>-23 \Longrightarrow x<\frac{23}{3}.\) С учётом ОДЗ получаем ответ: \(5<x<\frac{23}{3}\), то есть \(x\in\left(5;\,\frac{23}{3}\right)\).
\(\blacktriangleright\) Задача 3. Пример. Решите неравенство
Решение:
В левой части неравенства логарифм по основанию 10, а справа число 1. Представим число 1 также в виде логарифма по основанию 10.
Выполним преобразования \(1=1 \cdot 1=1 \cdot \log_{10}10=\log_{10}10^1=\log_{10}10\).
Тогда неравенство можно переписать в виде
Так как основания логарифмов одинаковые и \(10>1\), то знак неравенства сохраняется. Получим
Проверим ОДЗ: \(13x+9>0 \Longrightarrow 13x>-9 \Longrightarrow x>-\frac{9}{13}\). С учётом ОДЗ получаем: \(-\frac{9}{13}<x<\frac{1}{13}\), то есть \(x\in\left(-\frac{9}{13};\,\frac{1}{13}\right)\).