4 Задачи на применение свойств логарифмов

Задачи на применение свойств логарифмов

В этом разделе будут разобраны задачи на комбинацию различных свойств логарифмов.

$\blacktriangleright$ Задача 1. Примеры.

Вычислите $\log_{5\sqrt{5}}{\dfrac{1}{125\sqrt{5}}}.$
Решение:
Преобразуем наше выражение:
$\log_{5\sqrt{5}}{\dfrac{1}{125\sqrt{5}}}=\log_{5\cdot 5^{\frac{1}{2}}}{\dfrac{1}{5^3\cdot5^{\frac{1}{2}}}}=\log_{5^{\frac{3}{2}}}{5^{-\frac{7}{2}}}=-\dfrac{\frac{7}{2}}{ \frac{3}{2}}\log_5{5}=-\dfrac{7}{3}.$
Вычислите $\log_{3\sqrt{2}}{54\sqrt{2}}.$
Решение:
Преобразуем наше выражение:
$\log_{3\sqrt{2}}{(27\cdot2\sqrt{2})}=\log_{3\cdot \sqrt{2}}{(3^3\cdot \sqrt{2}^{3})}=\log_{3\cdot \sqrt{2}}{({3\cdot \sqrt{2}})^{3}}= 3.$

$\blacktriangleright$ Задача 2. Примеры.

Вычислите $\dfrac{9^{\log_5{50}}}{9^{\log_5{2}}}.$

Решение:

Воспользуемся свойством степени: $\dfrac{a^m}{a^n}=a^{m-n}.$

\dfrac{9^{\log_5{50}}}{9^{\log_5{2}}}=9^{\log_5{50}-\log_5{2}}=9^{\log_{5}{\frac{50}{2}}}=9^{2}=81.

Здесь мы использовали:

\log_a{b}-\log_a{c}=\log_a{\dfrac{b}{c}}.

$\blacktriangleright$ Задача 3. Примеры.

Вычислите $\log_{0,2}{(\sqrt{32}+\sqrt{7})}+\log_{0,2}{(\sqrt{32}-\sqrt{7}).}$
Решение:
Воспользуемся свойством:
$\log_a{b}+\log_{a}{c}=\log_a{(b\cdot c)}.$
$\log_{0,2}{(\sqrt{32}+\sqrt{7})}+\log_{0,2}{(\sqrt{32}-\sqrt{7})}=\log_{0,2}{(\sqrt{32}+\sqrt{7})(\sqrt{32}-\sqrt{7})}=\log_{0,2}{(32-7)}=\\=\log_{0,2}{25}=\log_{0,2}{5^2}=\log_{5^{-1}}{5^2}=\dfrac{2}{-1}\log_{5}{5}=-2.$
Здесь мы воспользовались тем, что $(a-b)(a+b)=a^2-b^2.$
Вычислите $\log_{13}{(2+\sqrt[3]{5})}+\log_{13}{(4-2\sqrt[3]{5}+\sqrt[3]{25})}.$
Решение:
Используя свойство $\log_a{b}+\log_a{c}=\log_a{(b\cdot c)}$ , получим:
$\log_{13}{(2+\sqrt[3]{5})}+\log_{13}{(4-2\sqrt[3]{5}+\sqrt[3]{25})}=\log_{13}{\left((2+\sqrt[3]{5})(4-2\sqrt[3]{5}+\sqrt[3]{25})\right)}=\\=\log_{13}{(2^3+(\sqrt[3]{5})^3)}=\log_{13}{(8+5)}=\log_{13}{13}=1.$
Здесь мы воспользовались тем, что $(a+b)(a^2-a\cdot b+b^2)=a^3+b^3.$

$\blacktriangleright$ Задача 4. Примеры.

Вычислите

(1-\log _{4}{36})(1-\log _{9}{36}).

1 способ решения:

Заметим, что

$\log_4{36}=\log_4{(9\cdot 4)}=\log_4{9}+\log_{4}{4}=\log_4{9}+1,$

$\log_9{36}=\log_9{(9\cdot 4)}=\log_9{9}+\log_9{4}=1+\log_9{4}.$

Здесь мы воспользовались тем, что:

\log_a{(b\cdot c)}=\log_a{b}+\log_a{c}.

Тогда

$(1-\log_4{36})(1-\log_9{36})=(1-(\log_4{9}+1))(1-(1+\log_9{4}))=(1-\log_4{9}-1)(1-1-\log_9{4})=(-\log_4{9})(-\log_9{4})=\log_4{9}\cdot \log_9{4}=\log_4{9}\cdot \dfrac{1}{\log_4{9}}=\dfrac{\log_4{9}}{\log_4{9}}=1.$

Здесь мы воспользовались тем, что

\log_a{b}=\dfrac{1}{\log_b{a}}.

2 способ решения:

Упростим выражения в скобках, затем используем формулу

\log_{a}{b}\cdot \log_c{d}=\log_{a}{d}\cdot\log_{c}{b}:

$(\log_4{4}-\log_4{36})(\log_9{9}-\log_{9}{36})=\log_4{\dfrac{4}{36}}\cdot \log_9{\dfrac{9}{36}}=\log_4{\dfrac{1}{9}}\cdot \log_9{\dfrac{1}{4}}=\log_4{\dfrac{1}{4}}\cdot \log_9{\dfrac{1}{9}}=-1\cdot (-1)=1.$

$\blacktriangleright$ Задача 5. Примеры.

Вычислите

\dfrac{1}{4}\log_{\sqrt{7}}{36}-\log_7{14}+3\log_{\frac{1}{7}}{\sqrt[3]{21}}.

Решение:

К какому основанию удобно привести эти логарифмы?

Попробуем привести их к основанию $7$ .

Нам поможет свойство:

\log_{a^k}{b}=\dfrac{1}{k}\log_a{b}\,\,\,\, (\text{здесь}\,\, a>0,\, b>0).

$\dfrac{1}{4}\log_{\sqrt{7}}{36}-\log_7{14}+3\log_{\frac{1}{7}}{\sqrt[3]{21}}=\dfrac{1}{4}\log_{7^{\frac{1}{2}}}{36}-\log_7{14}+3\log_{7^{-1}}{\sqrt[3]{21}}=\dfrac{\frac{1}{4}}{\frac{1}{2}}\log_7{36}-\log_7{14}+\\+\dfrac{3}{-1}\log_7{\sqrt[3]{21}}=\dfrac{2}{4}\log_7{36}-\log_7{14}-3\log_7{\sqrt[3]{21}}.$

Теперь воспользуемся свойствами:

k\log_{a}{b}=\log_a{b^k},

\log_a{b}-\log_a{c}=\log_a\left(\dfrac{b}{c}\right)\,\,\,\, (\text{здесь}\,\, b>0,\, c>0).

Получим

$\dfrac{1}{2}\log_{7}{36}-\log_7{14}-3\log_{7}{\sqrt[3]{21}}=\log_{7}{(36)^{\frac{1}{2}}}-\log_7{14}-\log_7{(\sqrt[3]{21})^3}=\log_7{6}-\log_7{14}-\log_7{21}=\\=\log_7{\dfrac{6}{14\cdot 21}}=\log_7{\dfrac{1}{49}}=\log_7{7^{-2}}=-2.$

$\blacktriangleright$ Задача 6. Примеры.

Найдите значение $x$ из условия:
$\lg{x}=\lg{7}-\lg{3}+\lg{8}.$
Решение:
$\lg{x}=\lg{\left(\dfrac{7\cdot 8}{3}\right)},$
$\lg{x}=\lg{\dfrac{56}{3}},$
$x=\dfrac{56}{3}.$
Найдите значение $x$ из условия:
$\log_5{x}=2\log_5{3}+\dfrac{1}{2}\log_5{49}-\dfrac{1}{3}\log_5{27}.$
Решение:
$\log_5{x}=\log_5{3^2}+\log_5{49^{\frac{1}{2}}}-\log_5{27^{\frac{1}{3}}},$
$\log_5{x}=\log_5{9}+\log_5{(7^2)^{\frac{1}{2}}}-\log_5{(3^3)^{\frac{1}{3}}},$
$\log_5{x}=\log_5{9}+\log_5{7}-\log_5{3},$
$\log_5{x}=\log_5{\dfrac{9\cdot 7}{3}},$
$\log_5{x}=\log_5{21},$
$x=21.$

$\blacktriangleright$ Задача 7. Примеры.

Вычислите $\dfrac{\log_7{3}+\log_7{9}}{\log_7{81}-\log_7{27}}.$
Решение:
Пользуясь свойствами 11 и 12, выполним преобразования:
$\dfrac{\log_7{3}+\log_7{9}}{\log_7{81}-\log_7{27}} = \dfrac{\log_7{(3\cdot9)}}{\log_7{(81:27)}} = \dfrac{\log_7{27}}{\log_7{3}}.$
А из свойства 13 следует преобразование:
$\dfrac{\log_7{27}}{\log_7{3}} = \log_3{27} .$
Далее вычисляем $\log_3{27} = \log_3{3^{3}} = 3.$
Вычислите $\dfrac{\log_2{5}-\log_2{\sqrt{10}}}{\log_2{20}-3\log_2{2}}.$
Решение:
Пользуясь свойством 12, выполним преобразования:
$\dfrac{\log_2{5}-\log_2{\sqrt{10}}}{\log_2{20}-3\log_2{2}}=\dfrac{\log_2{5}-\log_2{\sqrt{10}}}{\log_2{20}-\log_2{2^3}}=\dfrac{\log_2{\frac{5}{\sqrt{10}}}}{\log_2{\frac{20}{8}}}=\dfrac{\log_2{\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}}}}{\log_2{\frac{5}{2}}}.$
А из свойства 13 следует преобразование:
$\dfrac{\log_2{\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}}}}{\log_2{\frac{5}{2}}}=\log_{\frac{5}{2}}{\sqrt{\dfrac{5}{2}}}=\dfrac{1}{2}.$

$\blacktriangleright$ Задача 8. Примеры.

Вычислите

\dfrac{\log_6{12}-\frac{1}{3}\log_6{48}}{\log_5{15}-\frac{1}{2}\log_5{45}}.

Решение:

$\dfrac{\log_6{12}-\frac{1}{3}\log_6{48}}{\log_5{15}-\frac{1}{2}\log_5{45}}=\dfrac{\log_6{12}-\log_6{48^{\frac{1}{3}}}}{\log_5{15}-\log_5{45^{\frac{1}{2}}}}=\dfrac{\log_6{\frac{12}{\sqrt[3]{48}}}}{\log_5{\frac{15}{\sqrt{45}}}}=\dfrac{\log_6{\frac{12}{2\sqrt[3]{6}}}}{\log_5{\frac{15}{3\sqrt{5}}}}=\dfrac{\log_6{\sqrt[3]{36}}}{\log_5{\sqrt{5}}}=\dfrac{\frac{1}{3}\log_6{36}}{\frac{1}{2}\log_5{5}}=\\=\dfrac{2\cdot \log_6{6^2}}{3\cdot 1}=\dfrac{2\cdot 2}{3}=\dfrac{4}{3}.$

$\blacktriangleright$ Задача 9. Примеры.

Вычислите
$\log_4{\log_5{25}}.$
Решение:
В этом примере мы берем логарифм от числа, которое тоже записано в виде логарифма. Выполним преобразования: $\log_4{\log_5{25}}=\log_4{2}=\log_{2^2}{2}=\dfrac{1}{2}.$
Вычислите
$\log_5{\log_3{243}}.$
Решение:
Подобная запись означает, что логарифмируемое выражение первого логарифма само по себе является логарифмом.
Сначала вычислим его: $\log_3{243}=5.$
Тогда $\log_5{\log_3{243}}=\log_5{5}=1.$
Вычислите
$\log^3_{\sqrt{2}}{\log_3{81}}.$
Решение:
Вычислим сначала $\log_{3}{81}=4.$
Тогда $\log^3_{\sqrt{2}}{\log_3{81}}=(\log_{\sqrt{2}}{\log_3{81}})^3=(\log_{\sqrt{2}}{4})^3=(\log_2{16})^3=4^3=64.$
Здесь мы воспользовались тем, что:
$\log_a{b}=\log_{a^2}{b^2}.$

$\blacktriangleright$ Задача 10. Примеры.

Вычислите

\dfrac{\log_{10}{0,5}}{\log_{10}{7}}+\log_7{2}.

Решение:

Пользуясь свойством 13 выполним преобразование: $\dfrac{\log_{10}{0,5}}{\log_{10}{7}}+\log_7{2} = \log_7{0,5}+\log_7{2} .$
А из свойства 11 следует преобразование: $\log_7{0,5}+\log_7{2} = \log_7{(0,5\cdot 2)}=\log_7{1}=0.$

$\blacktriangleright$ Задача 11. Примеры.

Вычислите

\dfrac{\log_2{40}}{\lg{2}}-\dfrac{\log_2{5}}{\log_{80}{2}}.

Решение:
По свойству $\dfrac{1}{\log_b{a}}=\log_a{b}$

\dfrac{1}{\lg{2}}=\log_2{10} \text{\,\,\,и\,\,\,} \dfrac{1}{\log_{80}{2}}=\log_2{80}.

По свойству $\log_a{(b\cdot c)}=\log_a{b}+\log_a{c}$ (здесь $b>0$ и $c >0$ )

\log_2{40}=\log_2{(8\cdot 5)}=\log_2{8}+\log_2{5}=3+\log_2{5},

\log_2{10}=\log_2{(2\cdot 5)}=\log_2{2}+\log_2{5}=1+\log_2{5},

\log_2{80}=\log_2{(16\cdot 5)}=\log_2{16}+\log_2{5}=4+\log_2{5}.

Таким образом получаем:

$\dfrac{\log_2{40}}{\lg{2}}-\dfrac{\log_{2}{5}}{\log_{80}{2}}=\log_2{40}\cdot \log_2{10}-\log_2{5}\cdot \log_2{80}=(\log_2{(8\cdot 5)})\log_2{(2\cdot 5)}-\log_2{5}\log_2{(16\cdot 5)}=\\\\=(\log_2{8}+\log_2{5})(\log_2{2}+\log_2{5})-\log_2{5}(\log_2{16}+\log_2{5})=(\log_2{2^3}+\log_2{5})(1+\log_2{5})-\\\\-\log_2{5}(\log_2{2^4}+\log_2{5})=(3+\log_2{5})(1+\log_2{5})-\log_2{5}\cdot (4+\log_2{5})=3+\log_2{5}+3\log_2{5}+\\ \\+\log^2_2{5}-4\log_2{5}-\log^2_2{5}=3.$

$\blacktriangleright$ Задача 12. Примеры.

Найдите $\log_a{(a^2b^9)}$ , если $\log_a{b}=-4.$
Решение:
Выполним преобразования:
$\log_a{(a^2b^9)}=\log_a{a^2}+\log_a{b^9}=2\log_a{a}+9\log_a{b}=2+9\cdot(-4)=-34.$
Найдите значение выражения $\log_a{(ab^3)}$ , если $\log_b{a}=\dfrac{1}{7}$ .
Решение:
Используя свойства
$\log_a{(b\cdot c)}=\log_a{b}+\log_a{c}\,\, (\text{здесь}\,\, b>0,c>0),$ $\log_a{b^n}=n\log_a{b}\,\, (\text{здесь}\,\, b>0),$
получим
$\log_a{(ab^3)}=\log_a{a}+\log_a{b^3}=\log_a{a}+3\log_a{b}=1+3\log_a{b}.$

Найдём $\log_a{b}$ , для этого вспомним свойство:
$\log_b{a}=\dfrac{1}{\log_a{b}}.$
Значит по условию:
$\dfrac{1}{\log_a{b}}=\dfrac{1}{7} \Leftrightarrow \log_a{b}=7.$
Окончательно имеем:
$\log_a{(ab^3)}=1+3\log_a{b}=1+3\cdot7=1+21=22.$

Теория и примеры решения

$\blacktriangleright$ Задача 13. Примеры.

Известно, что $\log_5{7}=a$ . Найдите $\log_7{125}.$
Решение:
Преобразуем выражение, которое нам нужно найти:
$\log_7{125}=\log_7{5^3}=3\log_7{5}.$
Вспомним свойство
$\log_b{a}=\dfrac{1}{\log_a{b}}.$
Тогда $3\log_7{5}=3\cdot \dfrac{1}{\log_5{7}}=\dfrac{3}{a}.$
Известно, что $\log_6{7}=a$ . Найдите $\log_{36}{343}$ .
Решение:
Преобразуем выражение, которое нам нужно найти:
$\log_{36}{343}=\log_{6^2}{7^3}=\dfrac{3}{2}\log_{6}{7}=\dfrac{3}{2}a.$
Здесь мы воспользовались тем, что $\log_{a^m}{b^k}=\dfrac{k}{m}\log_a{b}$ .
Известно, что $\lg{3}=a,\,\, \lg{7}=b$ . Найдите $\log_9{63}$ .
Решение:
Вспомним свойство
$\log_a{b}=\dfrac{\log_c{b}}{\log_c{a}}.$
Если взять $c=10$ , то оно примет вид:
$\log_a{b}=\dfrac{\lg{b}}{\lg{a}}.$
Применив, получим
$\log_{9}{63}=\dfrac{\lg{63}}{\lg{9}}=\dfrac{\lg{(9\cdot 7)}}{\lg{(3^2)}}=\dfrac{\lg{9}+\lg{7}}{2\lg{3}}=\dfrac{2\lg{3}+\lg{7}}{2\lg{3}}=\dfrac{2a+b}{2a}.$
Здесь мы воспользовались тем, что
$\log_a{(b\cdot c)}=\log_a{b}+\log_a{c}\,\, \text{(при } b>0, c>0),$ $\log_a{b^k}=k\log_a{b}\,\, \text{(при } b>0).$
Известно, что $\log_3{5}=a,\,\, \log_3{7}=b$ . Найдите $\log_{25}{105}$ .
Решение:
Вспомним свойство
$\log_a{b}=\dfrac{\log_c{b}}{\log_c{a}}.$
Применив, получим
$\log_{25}{105}=\dfrac{\log_3{105}}{\log_3{25}}=\dfrac{\log_3{(3\cdot 5\cdot 7)}}{\log_3{(5^2)}}=\dfrac{\log_3{3}+\log_3{5}+\log_3{7}}{2\log_3{(5)}}=\dfrac{1+a+b}{2a}.$
Здесь мы воспользовались тем, что
$\log_a{(b\cdot c)}=\log_a{b}+\log_a{c}\,\, \text{(при } b>0, c>0),$ $\log_a{b^k}=k\log_a{b}\,\, \text{(при } b>0).$

$\blacktriangleright$ Задача 14. Примеры.

Вычислите
$3^{2\log_{3}{\sqrt{17}}}-7^{\frac{1}{2}\log_{\sqrt{7}}{16}}-0,2^{-4\log_{0,2}{\frac{1}{2}}}.$
Решение:
Преобразуем каждое слагаемое по отдельности. Для упрощения первого слагаемого воспользуемся свойствами:
$\log_{a}{b^k}=k\log_a{b},$ $a^{\log_{a}{b}}=b.$
Тогда $3^{2\log_{3}{\sqrt{17}}}=3^{\log_{3}{\left(\sqrt{17}\right)^2}}=3^{\log_{3}{17}}=17.$
Ко второму слагаемому применим свойство:
$\log_{a^m}{b}=\dfrac{1}{m}\log_{a}{b}.$
Тогда $7^{\frac{1}{2}\log_{\sqrt{7}}{16}}=7^{\frac{1}{2}\log_{7^{\frac{1}{2}}}{16}}=7^{\dfrac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}}\log_{7}{16}}=16.$
Для упрощения третьего слагаемого вспомним, что $a^n=\dfrac{1}{a^{-n}},$ следовательно
${0,2}^{-4\log_{0,2}{\frac{1}{2}}}={0,2}^{\log_{0,2}{\left(\frac{1}{2}\right)^{-4}}}=\left(\frac{1}{2}\right)^{-4}=2^4=16.$
Окончательно имеем: $17-16-16=-15.$
Вычислите
$5^{{\log_{5}{16}}-2}+4^{3+\log_4{5}}.$
Решение:
Аналогично предыдущему примеру, упростим каждое слагаемое по отдельности. Для упрощения первого вспомним свойство степени $a^{n-m}=\dfrac{a^n}{a^m},$ тогда имеем
$5^{\log_5{16}-2}=\dfrac{5^{\log_5{16}}}{5^2}=\dfrac{16}{25}.$
Упростим второе слагаемое, но прежде вспомним, что $a^{n+m}=a^n\cdot a^m$
$4^{3+\log_4{5}}=4^3\cdot 4^{\log_4{5}}=64\cdot 5=320.$
Теперь найдем сумму слагаемых $\dfrac{16}{25}+320=0,64+320=320,64.$

$\blacktriangleright$ Задача 15. Примеры.

Вычислите
$\log_{\sqrt{6}}{2}+2\log_6{\sqrt{54}}.$
Решение:
Воспользуемся свойством $\log_{a}{b}+\log_{a}{c}=\log_a{\left(b\cdot c\right)},$ но прежде упростим слагаемые
$\log_{\sqrt{6}}{2}=\log_{6^{\frac{1}{2}}}{2}=\dfrac{1}{\frac{1}{2}}\log_{6}{2}=2\log_6{2}=\log_{6}{4},$ $2\log_6{\sqrt{54}}=\log_{6}{\left(\sqrt{54}\right)^2}=\log_{6}{54}.$
В итоге получаем
$\log_{6}{4}+\log_{6}{54}=\log_{6}{216}=3.$
Вычислите
$\log_{49}{9}-\log_{\sqrt{7}}{\sqrt{21}}.$
Решение:
Вспомним свойство $\log_{a^n}{b^n}=\log_{a}{b},$ тогда
$\log_{7^2}{3^2}-\log_{7^{\frac{1}{2}}}{21^{\frac{1}{2}}}=\log_{7}{3}-\log_{7}{21}=\log_{7}{\dfrac{3}{21}}=\log_{7}{\dfrac{1}{7}}=-1.$
Здесь мы воспользовались тем, что
$\log_{a}{\dfrac{b}{c}}=\log_{a}{b}-\log_{a}{c},\,\, \text{где } b>0, c>0, a>0, a\neq 1.$

$\blacktriangleright$ Задача 16. Примеры.

Вычислите
$\log_{5\sqrt{5}}{8}\cdot \log_4{25}-6^{\log_{\frac{1}{6}}{2}}.$
Решение:
Напомним, что $5\sqrt{5}=5^1\cdot 5^{\frac{1}{2}}=5^{1+\frac{1}{2}}=5^{\frac{3}{2}}.$ Получим
$\log_{5^{\frac{3}{2}}}{8}\cdot \log_{2^2}{5^2}-6^{\log_{6^{-1}}{2}}=\dfrac{1}{\frac{3}{2}}\log_{5}{2^3}\cdot \log_{2}{5}-6^{\frac{1}{-1}\log_{6}{2}}=$

$=\dfrac{2}{3}\cdot 3\log_{5}{2}\cdot \log_{2}{5}-6^{\log_{6}{\frac{1}{2}}}=2\cdot \log_5{2}\cdot\dfrac{1}{\log_{5}{2}}-\dfrac{1}{2}=2-0,5=1,5.$
Здесь мы воспользовались свойством
$\log_{a}{b}=\dfrac{1}{\log_b{a}}.$