2 Логарифмы

Логарифмы

Для начала дадим определение логарифма.

Определение. Логарифмом положительного числа $b$ по основанию $a$ , где $a>0$ и $a\neq 1$ , называется такое число $c$ , что $a^c=b$ . Обозначение: $\log_a{b}$ (читается как <<логарифм числа $b$ по основанию $a$ >>).

В записи $\log_a{b}$ первое число (число $a$ ) называется основанием и показывает, какое число будет возводиться в степень.

Число $b$ показывает, какой результат мы должны получить после возведения в степень, и называется аргументом. Говоря простым языком, логарифм показывает, в какую степень мы будем возводить число $a$ , чтобы получить $b$ .

$\blacktriangleright$ Пример 1. $\log_3{5}$ — логарифм числа 5 по основанию 3.

$\blacktriangleright$ Пример 2. $\log_{\frac{1}{2}}{16}$ — логарифм числа 16 по основанию $\frac{1}{2}$ .

$\blacktriangleright$ Примеры на вычисление.

$\log_3{9}=2$

Действительно, 2 — это степень, в которую нужно возвести $3$ , чтобы получить $9$ . Иначе говоря, $3^2=9$ .
$\log_2{8}=3$

Действительно, 3 — это степень, в которую нужно возвести $2$ , чтобы получить $8$ . Иначе говоря, $2^3=8$ .
$\log_{\frac{1}{2}}{\dfrac{1}{16}}=4$

Действительно, 4 — это степень, в которую нужно возвести $\dfrac{1}{2}$ , чтобы получить $\dfrac{1}{16}$ . Иначе говоря, $\left(\dfrac{1}{2}\right)^4=\dfrac{1}{16}$ .
$\log_{\frac{1}{2}}32=-5$

Действительно, $-5$ — это степень, в которую нужно возвести $\dfrac{1}{2}$ , чтобы получить 32. Иначе говоря, $\left(\dfrac{1}{2}\right)^{-5}=32$ .

Некоторые особенно важные логарифмы имеют свои отдельные обозначения (в остальном это такие же логарифмы, с теми же свойствами).

Определение. Логарифм по основанию 10 называется десятичным логарифмом. Вместо записи $\log_{10}a$ обычно используется обозначение $\lg{a}$ . Обозначение: $\lg{x}=\log_{10}{x}$ .

$\blacktriangleright$ Примеры. $\lg{100}=2$ ; $\lg{10^{13}}=13$ ; $\lg{0,1}=-1$ .

Определение. Натуральный логарифм — это логарифм по основанию $e$ . Обозначение: $\ln{x}=\log_e{x}$ .

$\blacktriangleright$ Примеры. $\ln{1}=0; \,\, \ln{e}=1$

Замечание: В записи $\ln{x}$ буква '' $l$ '' — ''логарифм'', а буква '' $n$ '' — ''натуральный''.

В дальнейшем, если нам встретится выражение $\log_a{b}$ , то мы сразу можем сказать, что $b$ и $a$ — это положительные числа и $a\neq 1$ .

Откуда берутся ограничения в логарифме?

Зададимся вопросом: <<чему может быть равен $\log_1{2}$ ?>>

Это степень, в которую нужно возвести $1$ , чтобы получить $2$ . Но $1$ в любой степени — это $1$ . Поэтому $2$ мы никогда не получим. А значит, $\log_1{2}$ не имеет смысла, следовательно $a\neq 1$ .

Мы можем возводить в произвольную степень только положительные числа. Поэтому основание логарифма $a>0$ .

Из определения $b=a^c$ . Значит, $b$ — это результат возведения положительного числа $a$ в степень $c$ . Поэтому $b>0$ .

Важно отметить, что хотя на основание и аргумент логарифма накладываются жесткие ограничения, сам логарифм может быть любым числом (положительным, отрицательным, нулевым, сколь угодно малым и сколь угодно большим). Подробнее узнать об этом вы сможете в видео в начале параграфа.