Неравенства: Решите неравенство 8^x+2/3 - 9 · 4^x+1/2 + 13... — задача

Упростим показательные выражения по свойствам степени:
\[ 8^{x+\frac{2}{3}}=\left(2^3\right)^{x+\frac{2}{3}}=2^{3x+2}=4\cdot 2^{3x}; \]
\[ 4^{x+\frac{1}{2}}=\left(2^2\right)^{x+\frac{1}{2}}=2^{2x+1}=2\cdot 2^{2x}; \]
\[ 2^{x+1}=2\cdot 2^x. \]
Сделаем замену $t=2^x:$
\[ \dfrac{4t^3-18t^2+13t-13}{2t^2-9t+4}\leqslant 2t-\dfrac{1}{t-2}+\dfrac{3}{2t-1}. \]
Выделим целую часть дроби в левой части: разделим числитель на знаменатель уголком.

Частное равно $2t,$ остаток равен $5t-13,$ поэтому
\[ \dfrac{4t^3-18t^2+13t-13}{2t^2-9t+4}=2t+\dfrac{5t-13}{2t^2-9t+4}. \]
Неравенство принимает вид
\[ 2t+\dfrac{5t-13}{2t^2-9t+4}\leqslant 2t-\dfrac{1}{t-2}+\dfrac{3}{2t-1}; \]
\[ \dfrac{5t-13}{2t^2-9t+4}+\dfrac{1}{t-2}-\dfrac{3}{2t-1}\leqslant 0. \]
Разложим квадратный трёхчлен $2t^2-9t+4$ на множители. Корни будут $t_1=\dfrac12, t_2=4.$ (Найдём корни с помощью дискриминанта:
Решим уравнение
\[ 2t^2-9t+4=0. \]
Найдём дискриминант:
\[ D=(-9)^2-4\cdot 2\cdot 4=81-32=49=7^2. \]
Значит,
\[ \left[ \begin{array}{l} t_1=\dfrac{9-7}{4}=\dfrac12,\\[2mm] t_2=\dfrac{9+7}{4}=4. \end{array} \right. \])
Значит,
\[ 2t^2-9t+4=2\left(t-\dfrac12\right)(t-4)=(2t-1)(t-4). \]
Приведём левую часть к общему знаменателю:
\[ \dfrac{(5t-13)(t-2)+(2t-1)(t-4)-3(t-4)(t-2)}{(2t-1)(t-4)(t-2)}\leqslant 0. \]
Раскроем скобки в числителе:
\[ \begin{aligned} &(5t-13)(t-2)+(2t-1)(t-4)-3(t-4)(t-2)={}\\ &=5t^2-23t+26+2t^2-9t+4-3t^2+18t-24=4t^2-14t+6. \end{aligned} \]
Вынесем общий множитель $2:$ $$4t^2-14t+6=2\left(2t^2-7t+3\right),$$ и разложим квадратный трёхчлен $2t^2-7t+3$ на множители. Корни будут $t_1=\dfrac12, t_2=3.$ (Найдём корни с помощью дискриминанта:
Решим уравнение
\[ 2t^2-7t+3=0. \]
Найдём дискриминант:
\[ D=(-7)^2-4\cdot 2\cdot 3=49-24=25=5^2. \]
Значит,
\[ \left[ \begin{array}{l} t_1=\dfrac{7-5}{4}=\dfrac12,\\[2mm] t_2=\dfrac{7+5}{4}=3. \end{array} \right. \])
Значит,
\[ 2t^2-7t+3=2\left(t-\dfrac12\right)(t-3)=(2t-1)(t-3). \]
Неравенство принимает вид
\[ \left.\quad\quad\quad\dfrac{2(2t-1)(t-3)}{(2t-1)(t-4)(t-2)}\leqslant 0;\quad\right|:2 \]
\[ \dfrac{(2t-1)(t-3)}{(2t-1)(t-4)(t-2)}\leqslant 0. \]
Решим полученное неравенство методом интервалов:



\[ t\in\left(-\infty;\dfrac12\right)\cup\left(\dfrac12;2\right)\cup[3;4). \]
Функция $y=2^x$ монотонно возрастает, так как $2>1.$ Сделаем обратную замену:
\[ \left[ \begin{array}{l} 2^x<\dfrac{1}{2},\\[1mm] \dfrac{1}{2}<2^x<2,\\[1mm] \log_2 3\leqslant 2^x<2 \end{array} \right. \quad\Longleftrightarrow\quad \left[ \begin{array}{l} 2^x<2^{-1},\\[1mm] 2^{-1}<2^x<2^1,\\[1mm] 2^{\log_2 3}\leqslant 2^x<2^2 \end{array} \right. \quad\Longleftrightarrow\quad \left[ \begin{array}{l} x<-1,\\ -1<x<1,\\ \log_2 3\leqslant x<2. \end{array} \right. \]
Объединяем решения:



\[ x\in(-\infty;-1)\cup(-1;1)\cup\left[\log_2 3;2\right). \]

Ответ: $(-\infty;-1)\cup(-1;1)\cup\left[\log_2 3;2\right).$