Преобразуем знаменатель:
\[
\log_3(0{,}5 \cdot 2^x) = \log_3\left(0{,}5 \cdot 2^x\right) - 0 = \log_3\left(0{,}5 \cdot 2^x\right) - \log_3{1}.
\]
Функция $y = \log_3{t}$ монотонно возрастает, так как $3 > 1$. Воспользуемся методом рационализации для знаменателя:
\[
\dfrac{4^x - 3 \cdot 2^x + 2}{\log_3\left(0{,}5 \cdot 2^x\right) - \log_3{1}} \geqslant 0;
\]
\[
\dfrac{4^x - 3 \cdot 2^x + 2}{0{,}5 \cdot 2^x - 1} \geqslant 0;
\]
\[
\left.\quad\quad\quad\quad\;\;\dfrac{4^x - 3 \cdot 2^x + 2}{\dfrac{1}{2} \cdot 2^x - 1} \geqslant 0;\quad\right|:2 >0
\]
\[
\dfrac{4^x - 3 \cdot 2^x + 2}{2^x - 2} \geqslant 0.
\]
Сделаем замену $t=2^x:$
\[
\dfrac{t^2 - 3t + 2}{t - 2} \geqslant 0.
\]
Преобразуем числитель.
Разложим квадратный трёхчлен $t^2-3t+2$ на множители. Его
корни будут равны $t_1=1, t_2=2.$ (По обратной теореме Виета:
Если числа $t_1$ и $t_2$ таковы, что они удовлетворяют условию
\[
\begin{cases}
t_1+t_2=3,\\
t_1\cdot t_2=2,
\end{cases}
\]
то они являются корнями.
Разложим $2$ на два множителя. Сумму $3$ даёт пара $1$ и $2.$
Проверка:
\[
\begin{cases}
1+2=3,\\
1\cdot 2=2.
\end{cases}
\]
Значит,
\[
\left[
\begin{array}{l}
t_1=1,\\
t_2=2.
\end{array}
\right.
\])Значит,
\[
t^2-3t+2=(t-1)(t-2).
\]
Неравенство принимает вид
\[
\dfrac{(t-1)(t-2)}{t - 2} \geqslant 0.
\]
Решим полученное неравенство методом интервалов:
Получаем:
\[
\begin{cases}
t \geqslant 1,\\
t \neq 2.
\end{cases}
\]
Сделаем обратную замену:
\[
\begin{cases}
2^x \geqslant 1,\\
2^x \neq 2
\end{cases}
\quad\Longleftrightarrow\quad
\begin{cases}
2^x \geqslant 2^0,\\
2^x \neq 2^1
\end{cases}
\quad\Longleftrightarrow\quad
\begin{cases}
x \geqslant 0,\\
x \neq 1.
\end{cases}
\]
Получаем:
\[
x\in[0;1)\cup(1;+\infty).
\]
Ответ: $[0;1)\cup(1;+\infty).$
