Показательные функции в неравенстве определены при $x\neq 0.$ По свойствам степени
$$
4^{\frac{1+x}{x}}=4^{1+\frac1x}=4\cdot4^{\frac1x}.
$$
Неравенство принимает вид:
$$
4^{\frac2x}-4\cdot4^{\frac1x}+3\geqslant 0.
$$
Сделаем замену $t=4^{\frac1x}:$
$$
t^2-4t+3\geqslant 0.
$$
Разложим квадратный трёхчлен $t^2-4t+3$ на множители.
Корни будут $t_1=1, t_2=3.$ (По обратной теореме Виета:
Если числа $t_1$ и $t_2$ таковы, что они удовлетворяют условию
\[
\begin{cases}
t_1+t_2=4,\\
t_1\cdot t_2=3,
\end{cases}
\]
то они являются корнями.
Разложим $3$ на два множителя. Сумму $4$ даёт пара $1$ и $3.$
Проверка:
\[
\begin{cases}
1+3=4,\\
1\cdot 3=3.
\end{cases}
\]
Значит,
\[
\left[
\begin{array}{l}
t_1=1,\\
t_2=3.
\end{array}
\right.
\])Значит,
$$
(t-1)(t-3)\geqslant 0.
$$
Решим неравенство методом интервалов:
$$
\left[
\begin{array}{l}
t\leqslant 1\\
t\geqslant 3
\end{array}
\right.
$$
Сделаем обратную замену. Так как $4>1,$ показательная функция $4^u$ возрастает:
$$
\left[
\begin{array}{l}
4^{\frac1x}\leqslant 1\\
4^{\frac1x}\geqslant 3
\end{array}
\right.
\quad\Longleftrightarrow\quad
\left[
\begin{array}{l}
4^{\frac1x}\leqslant 4^0\\
4^{\frac1x}\geqslant 4^{\log_4 3}
\end{array}
\right.
\quad\Longleftrightarrow\quad
\left[
\begin{array}{l}
\dfrac1x\leqslant 0\\[2mm]
\dfrac1x\geqslant\log_4 3
\end{array}
\right.
$$
Первое неравенство равносильно $x<0.$
Во втором неравенстве перенесём всё в левую часть:
$$
\dfrac1x-\log_4 3\geqslant 0
$$
$$
\dfrac{1-x\log_4 3}{x}\geqslant 0.
$$
Домножим обе части неравенства на $\log_3 4 > 0:$
$$
\left.
\dfrac{1-x\log_4 3}{x} \geqslant 0.
\quad\right|\cdot\log_3 4>0
$$
Получаем:
$$
\dfrac{(1-x\log_4 3)\log_3 4}{x}\geqslant 0.
$$
Так как $\log_4 3\cdot\log_3 4=1,$ это неравенство равносильно следующему:
$$
\dfrac{\log_3 4-x}{x}\geqslant 0.
$$
Решим это неравенство методом интервалов:
Вместе с решением первого неравенства совокупности получаем:
$$
x\in(-\infty;0)\cup(0;\log_3 4].
$$
Ответ: $(-\infty;0)\cup(0;\log_3 4].$
