Навык

Деление многочленов столбиком

Часто в алгебраических задачах нам нужно поделить один многочлен на другой. Эта процедура во многом похожа на деление целых чисел и также может быть выполнена при помощи столбика. Но есть ряд особенностей. В этой статье мы подробно всё обсудим.

Для начала напомним одно важное определение из теории многочленов.

Определение. Степенью многочлена $P(x)$ называется наибольшая из степеней входящих в него одночленов. Проще говоря, это степень старшего члена многочлена.

Степень многочлена $P(x)$ обозначается $\deg P(x)$ (от англ. degree). Например:

$\deg(x^3 + 2x - 1) = 3$ (старший член $x^3$ )
$\deg(4x) = 1$ (старший член $4x^1$ )
$\deg(7) = 0$ (константа, так как $7 = 7x^0$ )

Теперь перейдём непосредственно к теме статьи.

1. Аналогия с делением целых чисел

При делении целых чисел мы находим частное и остаток. Например, при делении $17$ на $5$ получаем:

17= \underbrace{5}_{\text{делитель}} \cdot \underbrace{3}_{\text{частное}} + \underbrace{2}_{\text{остаток}},

причём остаток $0\leqslant2<5$ .

Аналогично для многочленов: при делении $a(x)$ на $b(x)$ ( $b(x) \neq 0$ ) получаем частное $q(x)$ и остаток $r(x)$ такие, что:

a(x)= \underbrace{b(x)}_{\text{делитель}} \cdot \underbrace{q(x)}_{\text{частное}} + \underbrace{r(x)}_{\text{остаток}},

причём либо $r(x) = 0$ , либо $\deg r(x) < \deg b(x)$ .

Важно: если степень остатка больше или равна степени делителя — это ошибка, деление не закончено. Это хороший способ самопроверки!

Неверно:

\textcolor{red}{\cancel{x^5+1=(x^2+1)x^3+(1-x^3)}}

Верно:

x^5+1=(x^2+1)(x^3-x)+(x+1)

Следствие для степеней. Из формулы следует, что $\deg a(x) = \deg b(x) + \deg q(x)$ . То есть степень частного равна разности степеней делимого и делителя.

2. Примеры

Пример 1. Разделите $x^4 + x^3 - 3x^2 + 4x - 3$ на $x - 1$ .

Решение. Делимое имеет степень 4, делитель — степень 1, значит, частное будет многочленом 3-й степени.

Шаг 1. Делим старший член $x^4$ на $x$ : получаем $x^3$ . Умножаем $x^3$ на $(x-1)$ : $x^4 - x^3$ . Вычитаем из делимого: $(x^4 + x^3) - (x^4 - x^3) = 2x^3$ . Сносим $-3x^2$ .

Шаг 2. Делим $2x^3$ на $x$ : получаем $2x^2$ . Умножаем: $2x^3 - 2x^2$ . Вычитаем: $(2x^3 - 3x^2) - (2x^3 - 2x^2) = -x^2$ . Сносим $4x$ .

Шаг 3. Делим $-x^2$ на $x$ : получаем $-x$ . Умножаем: $-x^2 + x$ . Вычитаем: $(-x^2 + 4x) - (-x^2 + x) = 3x$ . Сносим $-3$ .

Шаг 4. Делим $3x$ на $x$ : получаем $3$ . Умножаем: $3x - 3$ . Вычитаем: $(3x - 3) - (3x - 3) = 0$ .

Остаток равен нулю.

Компактнее эти преобразования записывают столбиком:

Ответ: частное $x^3 + 2x^2 - x + 3$ , остаток $0$ .

Исходный многочлен можно записать в виде:

x^4 + x^3 - 3x^2 + 4x - 3 = (x - 1)(x^3 + 2x^2 - x + 3).

Пример 2. Разделите $x^4 + x^3 + 3x^2 + x + 2$ на $x^2 + 1$ .

Решение. Делимое имеет степень 4, делитель — степень 2, значит, частное будет многочленом 2-й степени.

Ответ: частное $x^2 + x + 2$ , остаток $0$ .

Исходный многочлен можно записать в виде:

x^4 + x^3 + 3x^2 + x + 2 = (x^2 + 1)(x^2 + x + 2).

Пример 3. Разделите $2x^4 - x^3 + 5x^2 - 8x + 1$ на $x^2 - x + 1$ .

Решение. Делимое имеет степень 4, делитель — степень 2, значит, частное будет многочленом 2-й степени. Ожидаем ненулевой остаток.

Степень остатка $-5x - 3$ равна 1, что строго меньше степени делителя, равной 2. Деление завершено.

Ответ: частное $2x^2 + x + 4$ , остаток $-5x - 3$ .

Исходный многочлен можно записать в виде:

2x^4 - x^3 + 5x^2 - 8x + 1 = \underbrace{(x^2 - x + 1)}_{\text{делитель}} \cdot \underbrace{(2x^2 + x + 4)}_{\text{частное}} + \underbrace{(-5x - 3)}_{\text{остаток}}.

Пример 4. Разделите $3x^3 - 2x^2 + 5x - 1$ на $2x + 1$ .

Решение. Делимое имеет степень 3, делитель — степень 1, значит, частное будет многочленом 2-й степени.

Ответ: частное $\dfrac{3}{2}x^2 - \dfrac{7}{4}x + \dfrac{27}{8}$ , остаток $-\dfrac{35}{8}$ .

Исходный многочлен можно записать в виде:

3x^3 - 2x^2 + 5x - 1 = (2x + 1)\left(\dfrac{3}{2}x^2 - \dfrac{7}{4}x + \dfrac{27}{8}\right) + \left(- \dfrac{35}{8}\right).

Пример 5. Разделите $6x^4 + 5x^3 - 8x^2 + 2x - 3$ на $3x^2 - x + 2$ .

Решение. Делимое имеет степень 4, делитель — степень 2, значит, частное будет многочленом 2-й степени.

Ответ: частное $2x^2 + \dfrac{7}{3}x - \dfrac{29}{9}$ , остаток $-\dfrac{53}{9}x + \dfrac{31}{9}$ .

Исходный многочлен можно записать в виде:

6x^4 + 5x^3 - 8x^2 + 2x - 3 = (3x^2 - x + 2)\left(2x^2 + \dfrac{7}{3}x - \dfrac{29}{9}\right) + \left(-\dfrac{53}{9}x + \dfrac{31}{9}\right).