Преобразуем показательные выражения по свойствам степени:
\[
5^{\tfrac{2x}{x+3}}=\left(5^{\tfrac{x}{x+3}}\right)^2;
\]
Выделим в рациональной дроби в степени целую часть:
\[
5^{\tfrac{2x+3}{x+3}}=5^{\tfrac{x+(x+3)}{x+3}}=5^{\tfrac{x}{x+3}+1}=5\cdot 5^{\tfrac{x}{x+3}}.
\]
Сделаем замену $t=5^{\tfrac{x}{x+3}}:$
\[
t^2-5t\geqslant t-5;
\]
\[
t^2-6t+5\geqslant 0.
\]
Разложим квадратный трёхчлен $t^2-6t+5$ на множители.
Корни будут $t_1=1, t_2=5.$ (По обратной теореме Виета:
Если числа $t_1$ и $t_2$ таковы, что они удовлетворяют условию
\[
\begin{cases}
t_1+t_2=6,\\
t_1\cdot t_2=5,
\end{cases}
\]
то они являются корнями.
Разложим $5$ на два множителя. Сумму $6$ даёт пара $1$ и $5.$
Проверка:
\[
\begin{cases}
1+5=6,\\
1\cdot 5=5.
\end{cases}
\]
Значит,
\[
\left[
\begin{array}{l}
t_1=1,\\
t_2=5.
\end{array}
\right.
\]) Значит,
\[
(t-1)(t-5)\geqslant 0.
\]
Решим неравенство методом интервалов:
\[
\left[
\begin{array}{l}
t\leqslant 1,\\
t\geqslant 5.
\end{array}
\right.
\]
Сделаем обратную замену. Функция $y=5^u$ монотонно возрастает, так как $5>1,$ поэтому
\[
\left[
\begin{array}{l}
5^{\tfrac{x}{x+3}}\leqslant 1,\\[2mm]
5^{\tfrac{x}{x+3}}\geqslant 5
\end{array}
\right.
\quad\Longleftrightarrow\quad
\left[
\begin{array}{l}
5^{\tfrac{x}{x+3}}\leqslant 5^0,\\[2mm]
5^{\tfrac{x}{x+3}}\geqslant 5^1
\end{array}
\right.
\quad\Longleftrightarrow\quad
\left[
\begin{array}{l}
\dfrac{x}{x+3}\leqslant 0,\\[2mm]
\dfrac{x}{x+3}\geqslant 1.
\end{array}
\right.
\]
Решим первое неравенство совокупности методом интервалов:
\[
x\in(-3;0].
\]
Решим второе неравенство совокупности. Перенесём единицу в левую часть и приведём к общему знаменателю:
\[
\dfrac{x}{x+3}-1\geqslant 0;
\]
\[
\dfrac{x-(x+3)}{x+3}\geqslant 0;
\]
\[
\left.\quad\quad\quad\quad\quad\quad\dfrac{-3}{x+3}\geqslant 0;\quad\right|: (-3) < 0
\]
\[
\dfrac{1}{x+3}\leqslant 0.
\]
Получаем $x<-3.$
Объединим полученные решения:
\[
x\in(-\infty;-3)\cup(-3;0].
\]
Ответ: $(-\infty;-3)\cup(-3;0].$
