Пусть $t=2^x$, тогда неравенство примет вид:
$$
\dfrac{t}{t-8}+\dfrac{t+8}{t-4}+\dfrac{66}{t^2-12t+32}\leqslant 0.
$$
Разложим квадратный трёхчлен $t^2-12t+32$ на множители. Для этого решим уравнение
$$
t^2-12t+32=0.
$$
Корни будут $t_1=4, t_2=8.$ (По обратной теореме Виета:
Если числа $t_1$ и $t_2$ таковы, что они удовлетворяют условию
\[
\begin{cases}
t_1+t_2=12,\\
t_1\cdot t_2=32,
\end{cases}
\]
то они являются корнями.
Разложим $32$ на два множителя. Сумму $12$ даёт пара $4$ и $8.$
Проверка:
\[
\begin{cases}
4+8=12,\\
4\cdot 8=32.
\end{cases}
\]
Значит,
\[
\left[
\begin{array}{l}
t_1=4,\\
t_2=8.
\end{array}
\right.
\])Так как старший коэффициент равен $1,$ квадратный трёхчлен раскладывается по корням:
$$
t^2-12t+32=(t-t_1)(t-t_2)=(t-4)(t-8).
$$
Преобразуем неравенство:
$$
\dfrac{t}{t-8}+\dfrac{t+8}{t-4}+\dfrac{66}{(t-4)(t-8)}\leqslant 0;
$$
$$
\left.\dfrac{t^2-4t+t^2-64+66}{(t-4)(t-8)}\leqslant 0; \quad\right| :2
$$
$$
\dfrac{t^2-2t+1}{(t-4)(t-8)}\leqslant 0.
$$
Числитель можно свернуть по формуле
квадрата разности ($a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$):
$$
t^2-2t+1=t^2-2\cdot1\cdot t+1^2=(t-1)^2.
$$
Получаем:
$$
\dfrac{(t-1)^2}{(t-4)(t-8)}\leqslant 0.
$$
Решим полученное неравенство с помощью метода интервалов:
Получаем:
$$
\left[
\begin{array}{l}
t=1, \\
4 < t < 8.
\end{array}\right.
$$
Сделаем обратную замену и воспользуемся монотонным возрастанием функции $2^x$:
$$
\left[
\begin{array}{l}
2^x = 1, \\
4 < 2^x < 8
\end{array}\right.
\quad\Longleftrightarrow\quad
\left[
\begin{array}{l}
2^x=2^0,\\
2^2 < 2^x < 2^3
\end{array}
\right.
\quad\Longleftrightarrow\quad
\left[
\begin{array}{l}
x=0, \\
2 < x < 3.
\end{array}\right.
$$
Следовательно, $x\in\{0\} \cup (2;3)$.
Ответ: $\{0\} \cup (2;3)$.
