Навык

Разложение квадратного трёхчлена

Довольно часто в алгебраических задачах требуется разложить на множители выражение вида $ax^2 + bx + c$ , где $a \neq 0$ , то есть представить его в виде $a(x - x_1)(x - x_2)$ .

В этом помогает следующая теорема.

Теорема. Если $x_1$ и $x_2$ — корни квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ , то справедливо равенство:

ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2).

Доказательство. Раскроем скобки в правой части:

a(x - x_1)(x - x_2) = a\bigl(x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1x_2\bigr) = ax^2 - a(x_1 + x_2)x + ax_1x_2.

По теореме Виета:

\begin{cases} x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}; \\ x_1\cdot x_2=\dfrac{c}{a}. \end{cases}

Подставим:

ax^2 - a\left(-\frac{b}{a}\right)x + a\cdot\frac{c}{a} = ax^2 + bx + c.

Следовательно, $ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$ . $\blacksquare$

Если у квадратного уравнения корней нет (дискриминант отрицателен), то разложить трёхчлен на множители с действительными коэффициентами нельзя.

Пример 1. Разложим на множители трёхчлен $x^2 - 5x + 6$ .

Здесь $a = 1$ , $b = -5$ , $c = 6$ . Найдём корни уравнения $x^2 - 5x + 6 = 0$ через дискриминант:

D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1.

Так как $D > 0$ , уравнение имеет два корня:

x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + 1}{2} = 3, \quad x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - 1}{2} = 2.

Здесь $a = 1$ , поэтому:

x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3).

Пример 2. Разложим на множители трёхчлен $2x^2 + 7x + 3$ .

Здесь $a = 2$ , $b = 7$ , $c = 3$ . Найдём корни уравнения $2x^2 + 7x + 3 = 0$ :

D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 49 - 24 = 25.

Так как $D > 0$ , уравнение имеет два корня:

x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 + 5}{4} = -\frac{1}{2}, \quad x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 - 5}{4} = -3.

По теореме:

2x^2 + 7x + 3 = 2\left(x + \frac{1}{2}\right)(x + 3).

Пример 3. Разложим на множители трёхчлен $x^2 - 6x + 9$ .

Здесь $a = 1$ , $b = -6$ , $c = 9$ . Найдём корни уравнения $x^2 - 6x + 9 = 0$ :

D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 36 - 36 = 0.

Так как $D = 0$ , уравнение имеет один корень:

x_1 = \frac{-b}{2a} = \frac{6}{2} = 3.

В этом случае формула даёт:

x^2 - 6x + 9 = (x - 3)(x - 3) = (x - 3)^2.

Пример 4. Разложим на множители трёхчлен $x^2 + x + 1$ .

Здесь $a = 1$ , $b = 1$ , $c = 1$ . Найдём корни уравнения $x^2 + x + 1 = 0$ :

D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 1 - 4 = -3.

Так как $D < 0$ , уравнение не имеет действительных корней, значит, разложить трёхчлен на множители с действительными коэффициентами нельзя.

Приведённое квадратное уравнение.

Если коэффициент $a = 1$ , уравнение $x^2 + bx + c = 0$ называется приведённым. В этом случае формула разложения упрощается:

x^2 + bx + c = (x - x_1)(x - x_2).

Для приведённого уравнения особенно удобна теорема Виета:

\begin{cases} x_1+x_2=-b; \\ x_1\cdot x_2=c. \end{cases}

Часто она позволяет находить корни подбором, не вычисляя дискриминант.

Пример 5. Разложим на множители $x^2 - 7x + 10$ .

Здесь $a = 1$ , $b = -7$ , $c = 10$ . По теореме Виета ищем два числа, сумма которых равна $7$ , а произведение — $10$ . Это числа $2$ и $5$ .

Значит:

x^2 - 7x + 10 = (x - 2)(x - 5).

Теорема справедлива и в случае иррациональных корней.

Пример 6. Разложим на множители трёхчлен $x^2 - 2x - 1$ .

Здесь $a = 1$ , $b = -2$ , $c = -1$ . Найдём корни уравнения $x^2 - 2x - 1 = 0$ :

D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 4 + 4 = 8.

Так как $D > 0$ , уравнение имеет два корня. Заметим, что $\sqrt{8} = 2\sqrt{2}$ :

x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 + 2\sqrt{2}}{2} = 1 + \sqrt{2},

x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 - 2\sqrt{2}}{2} = 1 - \sqrt{2}.

Здесь $a = 1$ , поэтому:

x^2 - 2x - 1 = \bigl(x - (1 + \sqrt{2})\bigr)\bigl(x - (1 - \sqrt{2})\bigr).

В зависимости от задачи постоянный множитель можно оставить перед скобкой, а можно внести внутрь одной из них.

Пример 7. Разложим на множители трёхчлен $2x^2 + 7x - 4$ .

Здесь $a = 2$ , $b = 7$ , $c = -4$ . Найдём корни уравнения $2x^2 + 7x - 4 = 0$ :

D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-4) = 49 + 32 = 81.

Так как $D > 0$ , уравнение имеет два корня:

x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 + 9}{4} = \frac{1}{2}, \quad x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 - 9}{4} = -4.

По теореме:

2x^2 + 7x - 4 = 2\left(x - \frac{1}{2}\right)(x + 4).

Коэффициент $2$ удобно внести внутрь первой скобки:

2\left(x - \frac{1}{2}\right)(x + 4) = (2x - 1)(x + 4)

Такое разложение более компактно и удобнее для дальнейшего использования.