Пусть $t=3^x,$ тогда неравенство примет вид:
$$
\dfrac{117-15t}{t^2-36t+243}-\dfrac{1}{2}\geqslant 0.
$$
Преобразуем неравенство:
$$
\left.\dfrac{234-30t-t^2+36t-243}{2(t^2-36t+243)}\geqslant 0.
\quad\right|\cdot(-1)
$$
Разложим квадратный трёхчлен $t^2-36t+243$ на множители.
Корни будут $t_1=9, t_2=27.$ (Найдём корни с помощью дискриминанта:
Решим уравнение
\[
t^2-36t+243=0.
\]
Найдём дискриминант:
\[
D=(-36)^2-4\cdot1\cdot243=1296-972=324=18^2.
\]
Значит,
\[
\left[
\begin{array}{l}
t_1=\dfrac{36-18}{2}=9,\\[2mm]
t_2=\dfrac{36+18}{2}=27.
\end{array}
\right.
\])Так как старший коэффициент равен $1,$ квадратный трёхчлен раскладывается по корням:
$$
t^2-36t+243=(t-t_1)(t-t_2)=(t-9)(t-27).
$$
$$
\left.\dfrac{t^2-6t+9}{2(t-9)(t-27)}\leqslant 0.
\quad\right|\cdot2
$$
Числитель можно свернуть по
формуле квадрата разности ($a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$):
$$
t^2-6t+9=t^2-2\cdot3\cdot t+3^2=(t-3)^2.
$$
Получаем:
$$
\dfrac{(t-3)^2}{(t-9)(t-27)}\leqslant 0.
$$
Решим полученное неравенство с помощью метода интервалов:
Запишем промежутки совокупностью:
$$
\left[
\begin{array}{l}
t=3,\\
9<t<27.
\end{array}
\right.
$$
Сделаем обратную замену и воспользуемся монотонным возрастанием функции $3^x$:
$$
\left[
\begin{array}{l}
3^x=3,\\
9<3^x<27
\end{array}
\right.
\quad\Longleftrightarrow\quad
\left[
\begin{array}{l}
3^x=3^1,\\
3^2<3^x<3^3
\end{array}
\right.
\quad\Longleftrightarrow\quad
\left[
\begin{array}{l}
x=1,\\
2<x<3.
\end{array}
\right.
$$
Следовательно,
$$
x\in\{1\}\cup(2;3).
$$
Ответ: $\{1\}\cup(2;3).$
