Теория чисел: Юра и Полина играют в игру с числами. Юра... — задача

Условие, ответ и разбор задачи

Числа и их свойстваМЦКО

Юра и Полина играют в игру с числами. Юра выписывает на доску

5

различных натуральных чисел и находит их среднее арифметическое. Полина выбирает

2

числа из чисел Юры и находит их среднее арифметическое. Далее она выбирает третье число из чисел Юры и находит среднее арифметическое между первым полученным ей результатом и выбранным числом. Далее она находит среднее арифметическое полученного результата и четвертого нового числа из написанных Юрой. Наконец, она находит среднее арифметическое полученного результата и оставшегося числа, написанного Юрой.

а) Могут ли результаты у Юры и Полины получиться одинаковыми?

б) Может ли результат Полины быть в

3

раза больше, чем у Юры?

в) В какое максимальное натуральное число раз результат Полины может быть больше, чем у Юры?

Решение

а) Да, если взять числа

5, 3, 2, 1, 4

. Их среднее арифметическое равно

\dfrac{1}{5}(1 + 2 + 3 + 4 + 5) = 3,

а Полина последовательно получила

\dfrac{5 + 3}{2} = 4,\quad \dfrac{4 + 2}{2} = 3, \quad \dfrac{3 + 1}{2} = 2,\quad \dfrac{2 + 4}{2} = 3.

б) Пусть числа

a_1, a_2, a_3, a_4, a_5

расположены в том порядке, в котором брала Полина. Тогда Полина получила

\left(\left(\left(\left(a_1 + a_2\right)\cdot\dfrac{1}{2} + a_3\right)\cdot\dfrac{1}{2} + a_4\right)\cdot\dfrac{1}{2} + a_5\right)\cdot\dfrac{1}{2},

то есть

\dfrac{a_1}{16} + \dfrac{a_2}{16} + \dfrac{a_3}{8} + \dfrac{a_4}{4} + \dfrac{a_5}{2} = \dfrac{a_1 + a_2 + 2a_3 + 4a_4 + 8a_5}{16}.

По условию,

\left.\dfrac{3(a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5)}{5} = \dfrac{a_1 + a_2 + 2a_3 + 4a_4 + 8a_5}{16};\quad\right|\cdot 80

48a_1 + 48a_2 + 48a_3 + 48a_4 + 48a_5 = 5a_1 + 5a_2 + 10a_3 + 20a_4 + 40a_5;

43a_1 + 43a_2 + 38a_3 + 28a_4 + 8a_5 = 0,

что невозможно для натуральных чисел.

в) Пусть результат Полины в

k

раз больше результата Юры, получаем уравнение

\left.\dfrac{k(a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5)}{5} = \dfrac{a_1 + a_2 + 2a_3 + 4a_4 + 8a_5}{16};\quad\right|\cdot 80

(16k - 5)a_1 + (16k - 5)a_2 + (16k - 10)a_3 + (16k - 20)a_4 + (16k - 40)a_5 = 0.

При

k \geqslant 3

все коэффициенты положительны, то есть аналогично пункту б) равенство невозможно. Приведём пример для

k = 2

a_1 = 1,\quad a_2 = 3,\quad a_3 = 2,\quad a_4 = 4, a_5 = 25.

Тогда у Юры:

\dfrac{1}{5}(1 + 2 + 3 + 4 + 5) = 7,

а у Полины

\dfrac{1 + 3 + 2\cdot 2 + 4\cdot 4 + 8\cdot25}{16} = 14.

Ответ: а) да; б) нет; в)

2

Теория чисел: Юра и Полина играют в игру с числами. Юра... — задача

Похожие задачи