Теория чисел: На доске написано 20 натуральных необязательно... —...

Условие, ответ и разбор задачи

Числа и их свойстваЕГЭ 2025 (пересдача)

На доске написано

20

натуральных необязательно различных чисел, каждое из которых не превосходит

50

. Одно или несколько из чисел на доске увеличили на

1

. Числа, которые после этого оказались равны

51

, с доски стёрли.

a) Могло ли среднее арифметическое всех чисел на доске уменьшиться?

б) Могло ли быть так, что сначала среднее арифметическое было равно

24

, а потом стало равно

17

?

в) Чему может быть равно наименьшее среднее арифметическое чисел, оставшихся на доске, если изначально оно было равно

24

Решение

а) Да, если взять 19 чисел 11 и одно число 50.
Тогда старое среднее арифметическое равно

\dfrac{19 \cdot 11 +50}{20} = 12 \dfrac{19}{20}

, а новое --

\dfrac{19 \cdot (11+1)}{19} = 12

.
б) Так как среднее арифметическое всех чисел равно 24, то их сумма равна

20\cdot 24 = 480

.
Пусть

x

-- количество чисел 50, увеличенных на 1, а

y

-- количество всех остальных чисел, увеличенных на 1. Тогда

\dfrac{480 - 50x + y}{20-x} = 17, \quad 340 - 17x = 480 - 50x +y, \quad 33x = 140 + y.

Заметим, что

y \in [0;20)

, значит,

y+140 \in [140;160)

, но в этом промежутке нет чисел, кратных~33, получили противоречие.
в) Пусть

S_2

-- новое среднее арифметическое. Аналогично пункту б) получаем, что

S_2 = \dfrac{480 - 50x + y}{20 - x} > \dfrac{480 - 50x}{20 - x} = \dfrac{1000 - 50x - 520}{20-x} = 50 - \dfrac{520}{20-x}.

Очевидно, что

S_2 > 0

, тогда получаем неравенство:

50 - \dfrac{520}{20-x} > 0, \quad \dfrac{480 - 50x}{20-x} >0, \quad \dfrac{50x-480}{x-20} >0, \quad \dfrac{5x-48}{x-20} >0;

Рисунок 1 к решению задачи №20: Набор чисел на доске/карточках

Значение

x

должно быть целым, поэтому

x_{max} = 9

. Тогда

S_2 = \dfrac{30}{11}

.
Приведём пример для

x = 9

:
9 чисел 50, которые увеличили на 1, 10 чисел 1, которые не увеличили на 1, и число 20, которое не увеличили.
Ответ: а) да, б) нет, в)

\dfrac{30}{11}

Теория чисел: На доске написано 20 натуральных необязательно... —...

Похожие задачи