Набор чисел на доске/карточках

Юра и Полина играют в игру с числами. Юра выписывает на доску 5 различных натуральных чисел и находит их среднее арифметическое. Полина выбирает 2 числа из чисел Юры и находит их среднее арифметическое. Далее она выбирает третье число из чисел Юры и находит среднее арифметическое между первым полученным ей результатом и выбранным числом. Далее она находит среднее арифметическое полученного результата и четвертого нового числа из написанных Юрой. Наконец, она находит среднее арифметическое полученного результата и оставшегося числа, написанного Юрой. а) Могут ли результаты у Юры и Полины получиться одинаковыми? б) Может ли результат Полины быть в 3 раза больше, чем у Юры? в) В какое максимальное натуральное число раз результат Полины может быть больше, чем у Юры?

На доске в одну строку слева направо написаны n натуральных чисел, причём каждое следующее из них является квадратом предыдущего. а) Могли ли при n=3 на доске быть написаны ровно 10 цифр (например, если на доске написаны числа 5, 25 и 625, то написаны ровно 6 цифр)? б) Могли ли при n=3 на доске быть написаны ровно 12 цифр? в) Какое самое маленькое число может быть написано на доске при n=4, если на доске написано ровно 22 цифры?

На доске записано некоторое натуральное число N. Учитель по очереди вызывает учеников, которые выполняют с любым из уже записанных на доске чисел одно из следующих действий: – умножить число на 4; – прибавить к числу 12; – если число не равно 9, то вычеркнуть из числа цифру 9. Затем ученик записывает новое число на доску. а) Можно ли за несколько действий получить из числа 47 число 2? б) Можно ли за несколько действий получить из числа 7 число 77? в) Какое наибольшее количество чисел, меньших 2015, может быть записано на доске, если N = 1?

На доске написано некоторое количество двузначных натуральных чисел, среди которых могут быть одинаковые. С каждым из этих чисел проделывают одну из двух операций: либо увеличивают цифру в разряде десятков на 2 и уменьшают цифру в разряде единиц на 5, либо уменьшают цифру в разряде десятков на 2 и увеличивают цифру в разряде единиц на 2. Все числа, получившиеся в результате, оказались двузначными натуральными. а) Может ли сумма исходных чисел оказаться на 128 меньше суммы получившихся чисел? б) Может ли количество чисел на доске равняться 25, если сумма исходных чисел равна сумме получившихся чисел? в) Какое наибольшее количество чисел может быть написано на доске, если сумма исходных чисел равна сумме получившихся чисел и меньше 1198?

На столе лежит некоторое количество карточек, часть из которых синего цвета, а остальные красного (есть хотя бы по одной карточке каждого цвета). На каждой карточке написано целое число. На карточках синего цвета написаны различные числа, делящиеся на 5, а на карточках красного цвета написаны различные чётные числа (при этом некоторые числа могут быть написаны дважды: один раз на синей карточке и один раз на красной карточке). Все числа на карточках больше -80. Оказалось, что наибольшее число, написанное на красной карточке, равно удвоенному количеству синих карточек, а наибольшее число, написанное на синей карточке, равно количеству красных карточек. а) Может ли на столе лежать ровно пять красных карточек? б) Может ли на столе лежать ровно 200 красных карточек? в) Какое наибольшее количество красных карточек может лежать на столе?