Набор чисел на доске/карточках

На доске написано 38 различных натуральных чисел, каждое из которых либо чётное, либо его десятичная запись оканчивается на цифру 5. Сумма написанных чисел равна 1255. а) Может ли на доске быть ровно 31 чётное число? б) Могут ли ровно три числа на доске оканчиваться на 5? в) Какое наименьшее количество чисел, оканчивающихся на 5, может быть на доске?

На доске написано трёхзначное число A. Серёжа зачёркивает одну цифру и получает двузначное число B, затем Коля записывает число A и зачёркивает одну цифру (возможно ту же, что Серёжа) и получает число C. а) Может ли быть верным уравнение A=B· C, если A>140? б) Может ли быть верным уравнение A=B· C, если 440⩽ A<500? в) Найдите наибольшее число A до 900, для которого выполняется A=B· C.

На доске написано 10 различных натуральных чисел. Среднее арифметическое шести наименьших из них равно 7, а среднее арифметическое шести наибольших равно 21. а) Может ли наименьшее из этих десяти чисел равняться 5? б) Может ли среднее арифметическое всех десяти чисел равняться 16? в) Найдите наибольшее значение среднего арифметического всех десяти чисел.

Юра распечатал на принтере карточки со всеми трёхзначными натуральными числами, которые равны n^2 + 8n при некотором натуральном n. Когда его сестра Катя пришла из школы, она выбрала все карточки с числами, оканчивающимися цифрой 4. а) Могла ли у Кати оказаться карточка с числом, которое оканчивается 84? б) Могла ли у Кати оказаться карточка с числом, которое оканчивается 54? в) Сколько всего у Кати карточек?

На доске написаны 30 натуральных не обязательно различных чисел. Все они больше 16, но не превосходят 56, а их среднее арифметическое равно 23. Все числа заменили на в два раза меньшие и после этого стерли те, что оказались меньше 9. При этом на доске обязательно осталось хотя бы одно число. а) Может ли среднее арифметическое всех оставшихся чисел быть больше 21? б) Может ли среднее арифметическое всех чисел быть больше 20, но меньше 21? в) Какое наибольшее среднее арифметическое могло получиться у оставшихся чисел?

На доске написано 20 натуральных необязательно различных чисел, больших 5, каждое из которых не превосходит 45. После чего все числа на доске уменьшили на 1. Числа, которые после этого оказались равны 5, с доски стёрли. a) Могло ли среднее арифметическое всех оставшихся на доске чисел увеличиться? б) Могло ли быть так, что сначала среднее арифметическое было равно 32, а потом стало равно 39? в) Чему может быть равно наибольшее среднее арифметическое чисел, оставшихся на доске, если изначально оно было равно 32?

На доске написано 20 натуральных необязательно различных чисел, каждое из которых не превосходит 50. Одно или несколько из чисел на доске увеличили на 1. Числа, которые после этого оказались равны 51, с доски стёрли. a) Могло ли среднее арифметическое всех чисел на доске уменьшиться? б) Могло ли быть так, что сначала среднее арифметическое было равно 24, а потом стало равно 17? в) Чему может быть равно наименьшее среднее арифметическое чисел, оставшихся на доске, если изначально оно было равно 24?

На доске написали несколько не обязательно различных двузначных натуральных чисел без нулей в десятичной записи. Сумма этих чисел оказалась равной 2376. Затем в каждом числе поменяли местами первую и вторую цифры (например, число 17 заменили на число 71). а) Приведите пример исходных чисел, для которых сумма получившихся чисел ровно в 3 раза меньше, чем сумма исходных чисел. б) Могла ли сумма получившихся чисел быть ровно в 6 раз меньше, чем сумма исходных чисел? в) Найдите наименьшее возможное значение суммы получившихся чисел.

На доске было написано несколько различных натуральных чисел. Эти числа разбили на три группы, в каждой из которых оказалось хотя бы одно число. К каждому числу из первой группы приписали справа цифру 3, к каждому числу из второй группы - цифру 7, а числа из третьей группы оставили без изменений. а) Могла ли сумма всех этих чисел увеличиться в 8 раз? б) Могла ли сумма всех этих чисел увеличиться в 17 раз? в) В какое наибольшее число раз могла увеличиться сумма всех этих чисел?

На доске написано 11 различных натуральных чисел. Среднее арифметическое шести наименьших из них равно 5, а среднее арифметическое шести наибольших равно 15. а) Может ли наименьшее из этих одиннадцати чисел равняться 3? б) Может ли среднее арифметическое всех одиннадцати чисел равняться 9? в) Пусть B — шестое по величине число, а S — среднее арифметическое всех одиннадцати чисел. Найдите наибольшее значение выражения S - B.