Теория чисел: На доске написано трёхзначное число A. Серёжа... —...

Условие, ответ и разбор задачи

Числа и их свойстваЕГЭ 2023 (основа)

На доске написано трёхзначное число

A

. Серёжа зачёркивает одну цифру и получает двузначное число

B

, затем Коля записывает число

A

и зачёркивает одну цифру (возможно ту же, что Серёжа) и получает число

C

.

а) Может ли быть верным уравнение

A=B\cdot C

, если

A>140

?

б) Может ли быть верным уравнение

A=B\cdot C

, если

440\leqslant A<500

?

в) Найдите наибольшее число

A

до

900

, для которого выполняется

A=B\cdot C

Решение

а)Например, возьмём

A=150.

Если зачеркнуть цифру

5

, получим число

10

. Если зачеркнуть цифру

0

, получим число

15

.

Тогда

10\cdot15=150.

Значит, уравнение

A=B\cdot C

может быть верным.

б) Пусть

440\leqslant A<500.

Заметим, что тогда при зачёркивании любой цифры из числа

A

получается двузначное число, не меньшее

40

.

Значит,

B\geqslant 40,\qquad C\geqslant 40.

Тогда

B\cdot C\geqslant 40\cdot40=1600.

Но по условию

A<500.

Получили противоречие с равенством

A=B\cdot C

.

Следовательно, уравнение

A=B\cdot C

при

440\leqslant A<500

быть верным не может.

в) Покажем сначала, что число

A=810

подходит.

Если зачеркнуть цифру

0

, получим число

81

. Если зачеркнуть цифру

8

, получим число

10

.

Тогда

81\cdot10=810.

Значит,

A=810

подходит.

Теперь докажем, что большее число взять нельзя.

Рассмотрим сначала числа

830\leqslant A<900.

Если из такого числа зачеркнуть любую цифру, то полученное двузначное число будет не меньше

30

.

Следовательно,

B\geqslant 30,\qquad C\geqslant 30.

Тогда

B\cdot C\geqslant 30\cdot30=900.

Но

A<900.

Получили противоречие. Значит, чисел

A

от

830

до

899

, которые подходят, нет.

Осталось проверить числа

811\leqslant A\leqslant 829.

Пусть

A=\overline{8bc}.

Если зачеркнуть не первую цифру, то получится число, не меньшее

80

. Если зачеркнуть первую цифру, то получится число

\overline{bc}

, причём

11\leqslant \overline{bc}\leqslant 29.

Если хотя бы одно из чисел

B

C

получено не зачёркиванием первой цифры, то это число не меньше

80

, а второе число не меньше

11

. Тогда

B\cdot C\geqslant 80\cdot11=880.

Но для рассматриваемых чисел

A\leqslant 829.

Это невозможно.

Значит, оба числа

B

C

должны получаться зачёркиванием первой цифры. Тогда

B=C=\overline{bc}.

То есть

A=\overline{bc}^{\,2}.

Но среди чисел от

811

до

829

нет квадратов натуральных чисел, так как

28^2=784,\qquad29^2=841.

Следовательно, среди чисел от

811

до

829

подходящих тоже нет.

Значит, наибольшее возможное число равно

810.

Ответ:

810

Теория чисел: На доске написано трёхзначное число A. Серёжа... —...

Похожие задачи