Теория чисел: На доске написаны 30 натуральных не... — задача

Условие, ответ и разбор задачи

Числа и их свойстваЕГЭ 2025 (пересдача)

На доске написаны

30

натуральных не обязательно различных чисел. Все они больше

16

, но не превосходят

56

, а их среднее арифметическое равно

23

.

Все числа заменили на в два раза меньшие и после этого стерли те, что оказались меньше~

9

. При этом на доске обязательно осталось хотя бы одно число.

а) Может ли среднее арифметическое всех оставшихся чисел быть больше

21

?

б) Может ли среднее арифметическое всех чисел быть больше

20

, но меньше

21

?

в) Какое наибольшее среднее арифметическое могло получиться у оставшихся чисел?

Решение

а) Да, если взять 25 чисел 17 и 5 чисел 53.
Тогда среднее арифметическое оставшихся чисел равно

\dfrac{5 \cdot 53 }{2\cdot 5} = 26,5

.
б) Так как среднее арифметическое всех чисел равно 23, то их сумма равна

30\cdot 23 = 690

.
Пусть

x

-- количество чисел 17, а

(30-x)

-- количество всех остальных чисел. Тогда

\begin{cases} \dfrac{690-17x}{2(30-x)} >20, \\[2ex] \dfrac{690-17x}{2(30-x)} <21; \end{cases} \quad \begin{cases} 690-17x > 1200 - 40x, \\ 690-17x < 1260 - 42x; \end{cases} \quad \begin{cases} 23x > 510, \\ 25x < 570; \end{cases} \quad\begin{cases} x > 22\dfrac{4}{23}, \\[2ex] x < 22\dfrac{4}{5}; \end{cases} \quad x\not \in \mathbb{Z}.

в) Пусть

S_2

-- новое среднее арифметическое. Аналогично пункту б) получаем, что

S_2 = \dfrac{690 - 17x}{2(30 - x)} = \dfrac{17(30-x)+180}{2(30 - x)} = \dfrac{17}{2} + \dfrac{90}{30-x}.

Очевидно, что сумма всех оставшихся чисел не превосходит 56, поэтому справедливо неравенство:

690 - 17x \leqslant 56 (30-x), \quad 690 - 17x \leqslant 1680 - 56x, \quad 39x \leqslant 990, \quad 13x \leqslant 330, \quad x \leqslant25\dfrac{5}{13}.

Значение

x

должно быть целым, поэтому

x_{max} = 25

. Тогда

S_2 = 26,5

.
Приведём пример для

x = 25

: 25 чисел 17 и 5 чисел 53.
Ответ: а) да, б) нет, в) 26,5.

Похожие задачи