Теория чисел: На доске написано 20 натуральных необязательно... —...

Условие, ответ и разбор задачи

Числа и их свойстваЕГЭ 2025 (пересдача)

На доске написано

20

натуральных необязательно различных чисел, больших

5

, каждое из которых не превосходит

45

. После чего все числа на доске уменьшили на

1

. Числа, которые после этого оказались равны

5

, с доски стёрли.

a) Могло ли среднее арифметическое всех оставшихся на доске чисел увеличиться?

б) Могло ли быть так, что сначала среднее арифметическое было равно

32

, а потом стало равно

39

?

в) Чему может быть равно наибольшее среднее арифметическое чисел, оставшихся на доске, если изначально оно было равно

32

Решение

а) Да, если взять 19 чисел 6 и одно число 26.
Тогда старое среднее арифметическое равно

\dfrac{19 \cdot 6 +26}{20} = 7

, а новое --

25

.
б) Так как среднее арифметическое всех чисел равно 32, то их сумма равна

20\cdot 32 = 640

.
Пусть

x

-- количество чисел 6, уменьшенных на 1, а

(20-x)

-- количество всех остальных чисел, уменьшенных на 1. Тогда

\dfrac{640 - 6x - (20-x)}{20-x} = 39, \quad 780 - 39x = 620 - 5x, \quad 34x = 160, \quad x\not \in \mathbb{Z}

в) Пусть

S_2

-- новое среднее арифметическое. Аналогично пункту б) получаем, что

S_2 = \dfrac{640 - 6x - (20-x)}{20 - x} = \dfrac{620 - 5x}{20 - x} = \dfrac{100 - 5x + 520}{20-x} = 5 + \dfrac{520}{20-x}.

Очевидно, что

S_2 \leqslant 44

, тогда получаем неравенство:

5 + \dfrac{520}{20-x} \leqslant 44, \quad \dfrac{620 - 5x}{20-x} \leqslant 44, \quad \dfrac{5x-620}{x-20}\leqslant 44, \quad \dfrac{-39x+260}{x-20}\leqslant0, \quad \dfrac{3x-20}{x-20}\geqslant0;

Рисунок 1 к решению задачи №20: Набор чисел на доске/карточках

Значение

x

должно быть целым, поэтому

x_{max} = 6

. Тогда

S_2 = \dfrac{295}{7}

.
Приведём пример для

x = 6

:
6 чисел 6, которые уменьшили на 1, 13 чисел 45, которые не уменьшили на 1, и число 19, которое не уменьшили.
Ответ: а) да, б) нет, в)

\dfrac{295}{7}

Теория чисел: На доске написано 20 натуральных необязательно... —...

Похожие задачи