Теория чисел: На доске написано 10 различных натуральных... — задача

Условие, ответ и разбор задачи

Числа и их свойстваСтатГрад 11.02.2025

На доске написано

10

различных натуральных чисел. Среднее
арифметическое шести наименьших из них равно

7

, а среднее
арифметическое шести наибольших равно

21

.

а) Может ли наименьшее из этих десяти чисел равняться

5

?
б) Может ли среднее арифметическое всех десяти чисел равняться

16

?
в) Найдите наибольшее значение среднего арифметического всех десяти чисел.

Решение

Упорядочим числа по возрастанию:

a_1 < a_2 < a_3< \ldots < a_{10}, \text{ где } a_i \in \mathbb{N}.

Тогда из условия

\dfrac{a_1+a_2+\ldots + a_6}{6} = 7 \Leftrightarrow a_1+a_2+\ldots + a_6 = 42.

\dfrac{a_5+a_6+\ldots + a_{10} }{6} = 21 \Leftrightarrow a_5+a_6+\ldots + a_{10} = 126.

а) Предположим, что

a_1 =5

, тогда

a_1+a_2+ a_3 + a_4 + a_5 + a_6 \geq 5+6+7+8+9+10 = 45 > 42.

Противоречие, следовательно

a_1

не может быть равно 5.

б) Предположим, что среднее арифметическое десяти чисел равно

16

, тогда их сумма равна

160

a_1+a_2+\ldots + a_{10} = 160.

a_1+a_2+a_3+a_4 +126 = 160;

a_1+a_2+a_3+a_4 = 34.

Тогда

42 - (a_5+a_6) = 34;

a_5+a_6 = 8.

Следовательно,

a_5 \leq 3, a_4 \leq 2, a_3 \leq 1, a_2 \leq 0

. Противоречие.

в) Заметим, что

a_1+a_2+\ldots + a_{10} = 42+126 - (a_5+a_6) = 168 - (a_5+a_6).

Таким образом, чтобы найти наибольшее значение среднего арифметического десяти чисел, необходимо найти наибольшее значение их суммы, следовательно,

a_5+a_6

должно принимать наименьшее значение. \\
Заметим, что

a_5+a_6 > \dfrac{42}{3}=14

, так как

a_5+a_6 > a_3+a_4 > a_1+a_2

a_1+a_2+ a_3 + a_4 + a_5 + a_6 = 42.

--- Пусть

a_5+a_6 = 15

, тогда

a_5 \leq 7

, следовательно,

a_1+a_2+a_3+a_4 \leq 3+4+5+6 = 18.

Этот вариант не подходит.

--- Пусть

a_5+a_6 = 16

, тогда

a_5 \leq 7

, следовательно,

a_1+a_2+a_3+a_4 \leq 3+4+5+6 = 18.

Этот вариант также не подходит.

--- Пусть

a_5+a_6 = 17

, тогда

a_5 \leq 8

, следовательно,

a_1+a_2+a_3+a_4 \leq 4+5+6+7 = 22.

Этот вариант также не подходит.

--- Пусть

a_5+a_6 = 18

, аналогично предыдущему варианту -- не подходит.

--- Пусть

a_5+a_6 = 19

, тогда

a_5 \leq 9

, следовательно,

a_1+a_2+a_3+a_4 \leq 5+6+7+8 = 26.

Таким образом, нам подходит набор из первых шести чисел:

2, 6, 7, 8, 9, 10.

И среднее арифметическое равно

\dfrac{168-19}{10}= 14,9.

Полный набор из десяти чисел будет выглядеть следующим образом:

2, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 71.

Ответ: а) Нет; б) Нет; в)

14,9

Похожие задачи