Теория чисел: На столе лежит некоторое количество карточек,... —...

Условие, ответ и разбор задачи

Числа и их свойстваЕГЭ 2026 (Основная волна)

На столе лежит некоторое количество карточек, часть из которых синего цвета, а остальные красного (есть хотя бы по одной карточке каждого цвета). На каждой карточке написано целое число. На карточках синего цвета написаны различные числа, делящиеся на

5

, а на карточках красного цвета написаны различные чётные числа (при этом некоторые числа могут быть написаны дважды: один раз на синей карточке и один раз на красной карточке). Все числа на карточках больше

-80

. Оказалось, что наибольшее число, написанное на красной карточке, равно удвоенному количеству синих карточек, а наибольшее число, написанное на синей карточке, равно количеству красных карточек.

а) Может ли на столе лежать ровно пять красных карточек?

б) Может ли на столе лежать ровно

200

красных карточек?

в) Какое наибольшее количество красных карточек может лежать на столе?

Решение

а) Да, если красных карточек

5

с числами

-2, -4, -6, 0, 2

, а синяя одна, с числом

5

.

б) Так как красных карточек

200

, то наибольшее число на синей карточке тоже

200

.
Пусть есть

x

синих карточек, тогда наибольшее красное число — это

2x

.

Возьмем

200

наибольших возможных чисел с красных карточек, тогда наименьшее из них равно

2x - 2 \cdot 199 = 2x - 398.

По условию

2x - 398 > -80, \ x > 159.

То есть,

x_{\min} = 160

.

Минимальное число на синей карточке равно

200 - 5 \cdot 159 < -80

, противоречие.

в) Пусть красных карточек

y

штук, синих

x

штук. Для того, чтобы карточек было как можно больше, берём все возможные числа без пропусков, начиная с самых больших и уменьшая их на

2

для красных карточек и на

5

для синих.

Рисунок 1 к решению задачи №20: Набор чисел на доске/карточках

Записав ограничения на наименьшие числа на карточках, получим систему:

\begin{cases} 2x - 2(y-1) > -80, \\ y - 5(x-1) > -80; \end{cases} \quad \begin{cases} x - y > -41, \mid \cdot 5\\ y - 5x > -85; \end{cases}

-4y > -290; \quad y < 72,5.

Так как

y \ \vdots \ 5

, то наибольшее возможное значение

y = 70

.
При

y = 70

\begin{cases} x > 29, \\ x < 31, \end{cases}

то есть

x = 30.

Пример: красные

60, 58, 56, \ldots , -78

, синие ---

70, 65, 60, \ldots, -75

.

Ответ: а) да; б) нет; в)

70.

Теория чисел: На столе лежит некоторое количество карточек,... —...

Похожие задачи