Теория чисел: На доске записано некоторое натуральное число... —...

Условие, ответ и разбор задачи

Числа и их свойстваЕГЭ 2026 (резерв)

На доске записано некоторое натуральное число

N

. Учитель по очереди вызывает учеников, которые выполняют с любым из уже записанных на доске чисел одно из следующих действий:
— умножить число на

4

;
— прибавить к числу

12

;
— если число не равно

9

, то вычеркнуть из числа цифру

9

.
Затем ученик записывает новое число на доску.

а) Можно ли за несколько действий получить из числа

47

число

2

?

б) Можно ли за несколько действий получить из числа

7

число

77

?

в) Какое наибольшее количество чисел, меньших

2015

, может быть записано на доске, если

N = 1

Решение

а) Да, приведём пример получения

2

из

47

47 \xrightarrow{+12} 59 \xrightarrow{~\cancel{9}~} 5 \xrightarrow{+12} 17 \xrightarrow{+12} 29 \xrightarrow{~\cancel{9}~} 2.

б) Покажем, что каждое из действий не меняет остатка при делении на

3

x + 12 \equiv x \pmod{3}

;

Вычёркивание цифры

9

уменьшает сумму цифр на

9

, то есть сохраняет остаток от деления на

3

, так как

9\,\vdots\,3

;

4x = 3x + x \equiv x \pmod{3}.

Заметим, что

7 \equiv 1 \pmod{3}

77 \equiv 2 \pmod{3}

, значит, из

7

получить

77

невозможно.

б) На доске могут быть записаны лишь числа, имеющие остаток

1

при делении на

3

1, 4, \ldots, 2011, 2014 = 3\cdot 671 + 1,

значит, всего максимум мы можем получить

672

числа.

Из

1

мы можем получить

4

умножением на

4

.

Укажем последовательности получения чисел

7

10

1 \xrightarrow{+12} 13 \xrightarrow{+12} 25 \xrightarrow{+12} 37 \xrightarrow{+12} 49 \xrightarrow{+12} 61 \xrightarrow{+12} 73 \xrightarrow{+12} 85 \xrightarrow{+12} 97 \xrightarrow{~\cancel{9}~} 7;

1 \xrightarrow{+12} \ldots \xrightarrow{+12} 97 \xrightarrow{+12} 109 \xrightarrow{~\cancel{9}~} 10.

Все последующие числа мы можем получить из

1, 4, 7

10

прибавлением

12

нужное количество раз.

Ответ: а) да; б) нет; в)

672

Похожие задачи