Теория чисел: На доске в одну строку слева направо написаны... —...

Условие, ответ и разбор задачи

Числа и их свойстваМЦКО

На доске в одну строку слева направо написаны

n

натуральных чисел, причём каждое следующее из них является квадратом предыдущего.

а) Могли ли при

n=3

на доске быть написаны ровно

10

цифр (например, если на доске написаны числа

5

25

625

, то написаны ровно

6

цифр)?

б) Могли ли при

n=3

на доске быть написаны ровно

12

цифр?

в) Какое самое маленькое число может быть написано на доске при

n=4

, если на доске написано ровно

22

цифры?

Решение

а) Да, если взять числа 10, 100 и 10 000.

б) Если первое число однозначное, то его квадрат -- максимум двузначный, а четвёртая степень -- четырёхзначная. То есть максимум на доске может быть 7 цифр, такой вариант не подходит.

Если первое число трёхзначное, то его квадрат -- минимум пятизначный, а четвёртая степень -- десятизначная. То есть минимум на доске может быть 17 цифр, такой вариант не подходит.

При увеличении разрядности исходного числа количество цифр в последующих числах на деле не убывает (*).

Рассмотрим двузначные числа. При

n = 3

возможны два варианта.

1)

2 \longrightarrow 3 \longrightarrow 7

, но

999^2 < 1000^2 = 1\ 000\ 000

.
2)

2 \longrightarrow 4 \longrightarrow 6

, но квадрат четырёхзначного числа -- минимум семизначный, такой вариант не подходит.

Во всех рассмотренных случаях получили противоречие.

в) Если первое число однозначное, то его квадрат -- максимум двузначное, четвёртая степень -- максимум четырёхзначная, а восьмая степень -- максимум восьмизначная. То есть на доске будет записано максимум 15 цифр, что не подходит.

Рассмотрим двузначные числа. Можно заметить, что

n = 20

подходит:

2 \longrightarrow 400 \longrightarrow 160\ 000 \longrightarrow 25\ 600\ 000\ 000, \quad \text{22 цифры.}

С учётом (*) получаем следующий набор случаев:

2 \longrightarrow 3 \longrightarrow 5 \longrightarrow 12,

но квадрат пятизначного числа -- максимум десятизначное число, этот вариант не подходит.

2 \longrightarrow 3 \longrightarrow 6 \longrightarrow 11.

Рассмотрим переход между вторым и третьим числом.
При

n = 19

19^2 = 361, \quad 19^4 = 90\ 000 + 2\cdot 18\ 300 + 61^2 > 10^5, \quad \text{подходит;}

18^2 = 324, \quad 18^4 = 90\ 000 + 2\cdot 7\ 200 + 24^2 > 10^5, \quad \text{подходит;}

17^2 = 289, \quad 17^4 = 90\ 000 - 2\cdot 3\ 300 + 11^2 < 10^5, \quad \text{не подходит;}

Проверим

n = 18

18 \longrightarrow 324 \longrightarrow 104\ 976\longrightarrow 104\ 976^2,

104\ 976^2 = 10^{10} + 2 \cdot 4\ 976 \cdot 10^5 + 4\ 976^2 < 10^{10} + 2 \cdot 5000 \cdot 10^5 + 5\ 000^2 = 10^{10} + 10^9 + 25\cdot 10^6 < 10^{11}.

Получаем, что это число одиннадцатизначное и удовлетворяет условию задачи.

Ответ: а) да, б) нет, в) 18.

Теория чисел: На доске в одну строку слева направо написаны... —...

Похожие задачи