Теория чисел: На доске написали несколько не обязательно... — задача

Условие, ответ и разбор задачи

Числа и их свойстваЕГЭ 2024 (резерв основы)

На доске написали несколько не обязательно различных двузначных натуральных чисел без нулей в десятичной записи. Сумма этих чисел оказалась равной

2376

. Затем в каждом числе поменяли местами первую и вторую цифры (например, число

17

заменили на число

71

).
а) Приведите пример исходных чисел, для которых сумма получившихся чисел ровно в

3

раза меньше, чем сумма исходных чисел.
б) Могла ли сумма получившихся чисел быть ровно в

6

раз меньше, чем сумма исходных чисел?
в) Найдите наименьшее возможное значение суммы получившихся чисел.

Решение

а) Пусть было

n

двузначных чисел без 0 в десятичной записи. Тогда после перестановки цифр в них они принимают вид:

10a_1+b_1 \quad \longrightarrow \quad {10b_1+a_1};

10a_2+b_2 \quad \longrightarrow \quad {10b_2+a_2};

10a_3+b_3 \quad \longrightarrow \quad {10b_3+a_3};

\dots \quad \dots \quad \dots

10a_n+b_n \quad \longrightarrow \quad {10b_n+a_n}.

Тогда после суммирования чисел в каждой из групп получаем следующее:

10\underbrace{(a_1+a_2+ \dots + a_n)}_{A}+\underbrace{(b_1+b_2+ \dots + b_n)}_{B} \longrightarrow 10\underbrace{(b_1+b_2+ \dots + b_n)}_{B}+ \underbrace{(a_1+a_2+ \dots + a_n)}_{A}

При этом сумма первоначальных чисел была равна 2376, а сумма чисел после перестановки стала в 3 раза меньше. Тогда получаем следующую систему в новых обозначениях:

\begin{cases} 10A+B=2376, \\ 10B+A=792; \ \cdot |10\end{cases} \quad \begin{cases} 10A+B=2376, \\ 100B+10A=7920; \end{cases} \quad \begin{cases} 10A+B=2376, \\ 99B=7920-2376; \end{cases} \quad \begin{cases} A=232, \\ B=56. \end{cases}

Тогда данному случаю соответствует набор чисел:

\underbrace{41, 41, \dots, 41}_{50 \ чисел}, 81, 81, 82, 82.

б) Если сумма чисел после перестановки стала в 6 раз меньше, то получаем систему:

\begin{cases} 10A+B=2376, \\ 10B+A=396; \ \cdot |10\end{cases} \quad \begin{cases} 10A+B=2376, \\ 100B+10A=3960; \end{cases} \quad \begin{cases} 10A+B=2376, \\ 99B=3960-2376; \end{cases} \quad \begin{cases} A=234, \\ B=16. \end{cases}

Так как первоначально было

n

чисел, то сумма всех десятков может изменяться в пределах от

n

до

9n

, то есть

n \leqslant A \leqslant 9n

, аналогичные ограничения получим и для суммы единиц чисел, то есть

n \leqslant B \leqslant 9n

.
Следовательно, справедливы неравенства:

A \geqslant n \geqslant \dfrac{B}{9}, \quad B \geqslant n \geqslant \dfrac{A}{9}.

Подставив в них полученные значения

A

B

, имеем:

B\geqslant \dfrac{A}{9} \ \Leftrightarrow \ 16 \geqslant \dfrac{234}{9}=26.

Получили противоречие, значит, такой случай невозможен.
в) По условию нужно найти наименьшее значение выражения

10B+A

.
Выразим

B

из условия

10A+B=2376

и подставим в выражение

10B+A

10(2376-10A)+A=23760-100A+A=23760-99A.

Тогда для минимальности последнего выражения нужно сделать

A

максимально возможным. Из равенства

10A+B=2376

получаем, что

A\leqslant 237

. Рассмотрим несколько вариантов.

1) Если

A=237

, то

B=6

. Но в пункте б) было получено, что

B\geqslant \dfrac{A}{9} \geqslant \dfrac{237}{9} >26

, поэтому такой случай невозможен.
2) Если

A=236

, то

B=16

. Но в пункте б) было получено, что

B\geqslant \dfrac{A}{9}\geqslant \dfrac{236}{9} >26

, поэтому такой случай невозможен.
3) Если

A=235

, то

B=26

. Но в пункте б) было получено, что

B\geqslant \dfrac{A}{9} \geqslant \dfrac{235}{9} >26

, поэтому такой случай невозможен.

Следовательно, получаем оценку

A\leqslant 234

. Приведём пример для

A=234

\underbrace{71, 71, \dots, 71}_{30 \ чисел}, \underbrace{41, 41, \dots, 41}_{6 \ чисел}.

Если

A=234

, то

B=2376-234\cdot 10=2376-2340=36

.
Тогда получаем, что

10B+A=360+234=594

.
Ответ: а) да, например, 50 раз число 41, 2 раза число 81 и 2 раза число 82; б) нет; в) 594.

Теория чисел: На доске написали несколько не обязательно... — задача

Похожие задачи