Теория чисел: На доске было написано несколько различных... — задача

Условие, ответ и разбор задачи

Числа и их свойстваФИПИ

На доске было написано несколько различных натуральных чисел. Эти числа разбили на три группы, в каждой из которых оказалось хотя бы одно число. К каждому числу из первой группы приписали справа цифру

3

, к каждому числу из второй группы — цифру

7

, а числа из третьей группы оставили без изменений.
а) Могла ли сумма всех этих чисел увеличиться в

8

раз?
б) Могла ли сумма всех этих чисел увеличиться в

17

раз?
в) В какое наибольшее число раз могла увеличиться сумма всех этих чисел?

Решение

Пусть

S_1

— сумма чисел в первой группе,

S_2

— во второй,

S_3

— в третьей,

n_1, n_2, n_3

— их количества соответственно.

После приписывания цифр:

1) Числа первой группы превращаются в

10a + 3

, их новая сумма

10S_1 + 3n_1

.
2) Числа второй группы превращаются в

10b + 7

, их новая сумма

10S_2 + 7n_2

.
3) Третья группа не меняется: сумма

S_3

.

Общая новая сумма:

10S_1 + 3n_1 + 10S_2 + 7n_2 + S_3

. Исходная сумма:

S_1 + S_2 + S_3

.

а) Пусть увеличение в 8 раз:

10S_1 + 3n_1 + 10S_2 + 7n_2 + S_3 = 8(S_1 + S_2 + S_3).

Преобразуем:

10S_1 + 3n_1 + 10S_2 + 7n_2 + S_3 - 8S_1 - 8S_2 - 8S_3 = 0,

2S_1 + 3n_1 + 2S_2 + 7n_2 - 7S_3 = 0,

2S_1 + 2S_2 + 3n_1 + 7n_2 = 7S_3.

Подберём пример. Возьмём

n_1 = 1

n_2 = 1

n_3 = 1

. Пусть в первой группе число 9, во второй 70, в третьей 24. Тогда:

S_1 = 9,\; S_2 = 70,\; S_3 = 24,\; n_1 = 1,\; n_2 = 1.

Проверяем:

2\cdot9 + 2\cdot70 + 3\cdot1 + 7\cdot1 = 18 + 140 + 3 + 7 = 168

7S_3 = 7\cdot24 = 168

. Равенство выполнено. Исходная сумма

9+70+24 = 103

, новая сумма

93 + 707 + 24 = 824

824/103 = 8

.

б) Пусть увеличение в 17 раз:

10S_1 + 3n_1 + 10S_2 + 7n_2 + S_3 = 17(S_1 + S_2 + S_3),

10S_1 + 3n_1 + 10S_2 + 7n_2 + S_3 - 17S_1 - 17S_2 - 17S_3 = 0,

-7S_1 - 7S_2 + 3n_1 + 7n_2 - 16S_3 = 0,

3n_1 + 7n_2 = 7S_1 + 7S_2 + 16S_3.

Заметим, что

n_1 \leqslant S_1

n_2 \leqslant S_2

, так как числа натуральные и различные (минимальная сумма

n

чисел не меньше

n

). Тогда левая часть

\leqslant 3S_1 + 7S_2

. Правая часть

= 7S_1 + 7S_2 + 16S_3 \geqslant 7S_1 + 7S_2

. Чтобы равенство выполнялось, нужно

3S_1 + 7S_2 \geqslant 7S_1 + 7S_2 + 16S_3

, что невозможно при положительных

S_3

.

в) Найдём отношение:

k = \frac{10S_1 + 3n_1 + 10S_2 + 7n_2 + S_3}{S_1 + S_2 + S_3} = 10 + \frac{3n_1 + 7n_2 - 9S_3}{S_1 + S_2 + S_3}.

Знаменатель

S_1 + S_2 + S_3

не зависит от распределения по группам. Чтобы максимизировать

k

, нужно сделать числитель

3n_1 + 7n_2 - 9S_3

как можно больше, а знаменатель как можно меньше. Для этого:

1)

n_2

берём максимальным (коэффициент 7);
2) в третьей группе оставляем ровно одно число, причём наименьшее возможное, чтобы

S_3

было минимальным;
3) все числа берём наименьшими, чтобы знаменатель был минимальным.

Возьмём

n_3 = 1

S_3 = 1

(число 1). Тогда

3n_1 + 7n_2 - 9S_3 = 3n_1 + 7n_2 - 9

. Пусть

n_2 = x

n_1 = 1

(чтобы не уменьшать

n_2

), тогда числитель

3 + 7x - 9 = 7x - 6

. Общее количество чисел

x + 2

. Чтобы знаменатель был минимальным, возьмём первые

x+2

натуральных числа:

1,2,\dots,x+2

. Тогда

S_1 + S_2 + S_3 = 1 + 2 + \dots + (x+2) = \dfrac{(x+2)(x+3)}{2}

. При этом

S_3 = 1

, а остальные числа распределены по первой и второй группам, но их сумма не меняет знаменатель.

Тогда

k = 10 + \frac{7x - 6}{\frac{(x+2)(x+3)}{2}} = 10 + \frac{2(7x - 6)}{(x+2)(x+3)}.

Исследуем функцию

f(x) = \dfrac{2(7x - 6)}{(x+2)(x+3)}

для натуральных

x \geqslant 1

. Вычислим значения:

x=1: \; f(1) = \frac{2(7-6)}{3\cdot4} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6},\quad k = 10\frac{1}{6}.

x=2: \; f(2) = \frac{2(14-6)}{4\cdot5} = \frac{16}{20} = 0.8,\quad k = 10\frac{4}{5}.

x=3: \; f(3) = \frac{2(21-6)}{5\cdot6} = \frac{30}{30} = 1,\quad k = 11.

x=4: \; f(4) = \frac{2(28-6)}{6\cdot7} = \frac{44}{42} = \frac{22}{21}, \quad k = 11\frac{1}{21}.

x=5: \; f(5) = \frac{2(35-6)}{7\cdot8} = \frac{58}{56} = \frac{29}{28}, \quad k = 11\frac{1}{28}.

Максимум достигается при

x = 4

k = 11\frac{1}{21}

.

Построим пример. Возьмём

x = 4

, значит

n_2 = 4

n_1 = 1

n_3 = 1

. Всего чисел 6. Берём наименьшие: 1, 2, 3, 4, 5, 6. Распределим:

1) третья группа: число 1 (

S_3 = 1

);
2) первая группа: число 2 (

S_1 = 2

);
3) вторая группа: числа 3, 4, 5, 6 (

S_2 = 3+4+5+6 = 18

).

Исходная сумма:

2 + 18 + 1 = 21

.
Новая сумма:

1) первая группа:

10\cdot2 + 3 = 23

;
2) вторая группа:

10\cdot3+7=37,\; 10\cdot4+7=47,\; 10\cdot5+7=57,\; 10\cdot6+7=67

, сумма

37+47+57+67 = 208

;
3) третья группа: 1.

Итого

23 + 208 + 1 = 232

. Отношение

232/21 = 11\dfrac{1}{21}

. Условие выполнено.

Ответ: а) да; б) нет; в)

{11\dfrac{1}{21}}

Теория чисел: На доске было написано несколько различных... — задача

Похожие задачи