Неравенства: Решите неравенство 2x^4-8x^3+8x^2x^2+x-6... — задача
Условие, ответ и разбор задачи
НеравенстваСтатГрад 02.10.2024
Решите неравенствоx2+x−62x4−8x3+8x2−x+3x3−2x2−2x−7≥1.
Решение
Разложим числитель и знаменатель первой дроби на множители.
В числителе вынесем $2x^2$ за скобку и применим формулу квадрата разности ($$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$$):
\[ 2x^4-8x^3+8x^2=2x^2\left(x^2-4x+4\right)=2x^2(x-2)^2. \]
Разложим квадратный трёхчлен $x^2+x-6$ на множители. Его корнями будут (По обратной теореме Виета решим уравнение
\[ x^2+x-6=0. \]
Если числа $x_1$ и $x_2$ таковы, что они удовлетворяют условию
\[ \begin{cases} x_1+x_2=-1,\\ x_1\cdot x_2=-6, \end{cases} \]
то они являются корнями.
Разложим $-6$ на два множителя. Сумму $-1$ даёт пара $-3$ и $2.$
Проверка:
\[ \begin{cases} -3+2=-1,\\ (-3)\cdot 2=-6. \end{cases} \]
Значит,
\[ \left[ \begin{array}{l} x_1=-3,\\ x_2=2. \end{array} \right. \]) $x_1=-3$ и $x_2=2.$ Значит,
\[ x^2+x-6=(x+3)(x-2), \]
и первая дробь равна
\[ \dfrac{2x^4-8x^3+8x^2}{x^2+x-6}=\dfrac{2x^2(x-2)^2}{(x+3)(x-2)}. \]
Сократим на $x-2$ при условии $x\neq 2:$
\[ \begin{cases} \dfrac{2x^2(x-2)}{x+3}-\dfrac{x^3-2x^2-2x-7}{x+3}\geqslant 1,\\[3mm] x\neq 2. \end{cases} \]
Решим первое неравенство системы. Приведём всё к общему знаменателю.
\[ \dfrac{2x^3-4x^2-x^3+2x^2+2x+7}{x+3}\geqslant 1; \]
\[ \dfrac{x^3-2x^2+2x+7}{x+3}\geqslant 1. \]
Перенесём единицу в левую часть и приведём к общему знаменателю:
\[ \dfrac{x^3-2x^2+2x+7-(x+3)}{x+3}\geqslant 0; \]
\[ \dfrac{x^3-2x^2+x+4}{x+3}\geqslant 0. \]
Разложим многочлен $x^3-2x^2+x+4$ на множители. Подставим $x=-1:$
\[ (-1)^3-2\cdot(-1)^2+(-1)+4=-1-2-1+4=0, \]
значит, $x=-1$ — корень этого многочлена, и он делится на $x+1.$ Разделим уголком:
Получаем:
\[ x^3-2x^2+x+4=(x+1)\left(x^2-3x+4\right). \]
Найдём дискриминант квадратного трёхчлена $x^2-3x+4:$
\[ D=(-3)^2-4\cdot 1\cdot 4=9-16=-7<0. \]
Дискриминант отрицателен, а старший коэффициент $1>0,$ то есть ветви параболы $x^2-3x+4$ направлены вверх и она лежит выше оси $Ox$. Значит, $x^2-3x+4>0$ при любом $x.$
Неравенство принимает следующий вид:
\[ \dfrac{(x+1)\left(x^2-3x+4\right)}{x+3}\geqslant 0. \]
Разделим обе части неравенства на $x^2-3x+4>0:$
\[ \dfrac{x+1}{x+3}\geqslant 0. \]
Отметим точки на числовой прямой (Неравенство нестрогое, поэтому нуль числителя закрашиваем, а нуль знаменателя выкалываем.
Точку $x_2=2$ из условия $x\neq 2$ тоже отмечаем и выкалываем.
Нуль числителя: $x_3=-1;$
Нуль знаменателя: $x_1=-3.$) и решим неравенство методом интервалов с учётом условия $x\neq 2.$
\[ x\in(-\infty;-3)\cup[-1;2)\cup(2;+\infty). \]
Ответ: $(-\infty;-3)\cup[-1;2)\cup(2;+\infty).$
В числителе вынесем $2x^2$ за скобку и применим формулу квадрата разности ($$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$$):
\[ 2x^4-8x^3+8x^2=2x^2\left(x^2-4x+4\right)=2x^2(x-2)^2. \]
Разложим квадратный трёхчлен $x^2+x-6$ на множители. Его корнями будут (По обратной теореме Виета решим уравнение
\[ x^2+x-6=0. \]
Если числа $x_1$ и $x_2$ таковы, что они удовлетворяют условию
\[ \begin{cases} x_1+x_2=-1,\\ x_1\cdot x_2=-6, \end{cases} \]
то они являются корнями.
Разложим $-6$ на два множителя. Сумму $-1$ даёт пара $-3$ и $2.$
Проверка:
\[ \begin{cases} -3+2=-1,\\ (-3)\cdot 2=-6. \end{cases} \]
Значит,
\[ \left[ \begin{array}{l} x_1=-3,\\ x_2=2. \end{array} \right. \]) $x_1=-3$ и $x_2=2.$ Значит,
\[ x^2+x-6=(x+3)(x-2), \]
и первая дробь равна
\[ \dfrac{2x^4-8x^3+8x^2}{x^2+x-6}=\dfrac{2x^2(x-2)^2}{(x+3)(x-2)}. \]
Сократим на $x-2$ при условии $x\neq 2:$
\[ \begin{cases} \dfrac{2x^2(x-2)}{x+3}-\dfrac{x^3-2x^2-2x-7}{x+3}\geqslant 1,\\[3mm] x\neq 2. \end{cases} \]
Решим первое неравенство системы. Приведём всё к общему знаменателю.
\[ \dfrac{2x^3-4x^2-x^3+2x^2+2x+7}{x+3}\geqslant 1; \]
\[ \dfrac{x^3-2x^2+2x+7}{x+3}\geqslant 1. \]
Перенесём единицу в левую часть и приведём к общему знаменателю:
\[ \dfrac{x^3-2x^2+2x+7-(x+3)}{x+3}\geqslant 0; \]
\[ \dfrac{x^3-2x^2+x+4}{x+3}\geqslant 0. \]
Разложим многочлен $x^3-2x^2+x+4$ на множители. Подставим $x=-1:$
\[ (-1)^3-2\cdot(-1)^2+(-1)+4=-1-2-1+4=0, \]
значит, $x=-1$ — корень этого многочлена, и он делится на $x+1.$ Разделим уголком:
Получаем:
\[ x^3-2x^2+x+4=(x+1)\left(x^2-3x+4\right). \]
Найдём дискриминант квадратного трёхчлена $x^2-3x+4:$
\[ D=(-3)^2-4\cdot 1\cdot 4=9-16=-7<0. \]
Дискриминант отрицателен, а старший коэффициент $1>0,$ то есть ветви параболы $x^2-3x+4$ направлены вверх и она лежит выше оси $Ox$. Значит, $x^2-3x+4>0$ при любом $x.$
Неравенство принимает следующий вид:
\[ \dfrac{(x+1)\left(x^2-3x+4\right)}{x+3}\geqslant 0. \]
Разделим обе части неравенства на $x^2-3x+4>0:$
\[ \dfrac{x+1}{x+3}\geqslant 0. \]
Отметим точки на числовой прямой (Неравенство нестрогое, поэтому нуль числителя закрашиваем, а нуль знаменателя выкалываем.
Точку $x_2=2$ из условия $x\neq 2$ тоже отмечаем и выкалываем.
Нуль числителя: $x_3=-1;$
Нуль знаменателя: $x_1=-3.$) и решим неравенство методом интервалов с учётом условия $x\neq 2.$
\[ x\in(-\infty;-3)\cup[-1;2)\cup(2;+\infty). \]
Ответ: $(-\infty;-3)\cup[-1;2)\cup(2;+\infty).$