Перенесём дробь из левой части неравенства в правую:
$$
\dfrac{x^2-5x+4}{x^2-4x} + 2 - \dfrac{8}{x+3} \geqslant 0.
$$
Рассмотрим первую дробь.
Разложим квадратный трёхчлен $x^2-5x+4$ на множители.
Его корнями будут $x_1=1$ и $x_2=4.$ (По обратной теореме Виета решим уравнение
\[
x^2-5x+4 = 0.
\]
Если числа $x_1$ и $x_2$ таковы, что они удовлетворяют условию
\[
\begin{cases}
x_1+x_2=5,\\
x_1\cdot x_2=4,
\end{cases}
\]
то они являются корнями.
Разложим $4$ на два множителя. Сумму $5$ даёт пара $1$ и $4.$
Проверка:
\[
\begin{cases}
1+4=5,\\
1\cdot 4=4.
\end{cases}
\]
Значит,
\[
\left[
\begin{array}{l}
x_1=1,\\
x_2=4.
\end{array}
\right.
\])Значит,
$$
x^2-5x+4 = (x - x_1)(x - x_2) = (x-1)(x-4).
$$
В знаменателе вынесем общий множитель $x:$
$$
x^2-4x=x(x-4).
$$
Неравенство принимает вид
$$
\dfrac{(x-1)(x-4)}{x(x-4)} + 2 - \dfrac{8}{x+3} \geqslant 0.
$$
Сократим на $(x - 4)$, учитывая, что $x \neq 4:$
$$
\dfrac{x-1}{x}+2 - \dfrac{8}{x+3} \geqslant 0
$$
Приведём к общему знаменателю:
$$
\dfrac{(x-1)(x+3) +2x(x+3) - 8x}{x(x+3)} \geqslant 0;
$$
$$
\dfrac{x^2+3x-x-3+2x^2+6x-8x}{x(x+3)} \geqslant0;
$$
$$
\left.\quad\quad\quad\quad\;\ \dfrac{3x^2-3}{x(x+3)} \geqslant 0;\quad\right|:3 > 0
$$
$$
\dfrac{(x-1)(x+1)}{x(x+3)} \geqslant 0.
$$
Отметим
точки на числовой прямой (Неравенство нестрогое, поэтому нули числителя закрашиваем, а нули знаменателя выкалываем.
Нули числителя: $x_3=-1, x_1=1;$
Нули знаменателя: $x_4=-3, x_5=0.$) и решим неравенство методом интервалов.
С учётом $x \neq 4$ получаем:
$$
x \in (-\infty; -3) \cup [-1; 0) \cup [1; 4) \cup (4; +\infty ).
$$
Ответ: $(-\infty; -3) \cup [-1; 0) \cup [1; 4) \cup (4; +\infty )$.
