Неравенства: Решите неравенство (x + 1)^2 - 1x - 1⩽ (x... — задача

Используем формулы квадрата суммы и разности ($$(a \pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$$):
\[ (x \pm 1)^2 = x^2 \pm 2\cdot 1\cdot x + 1 = x^2 \pm 2x + 1. \]
Неравенство принимает следующий вид:
\[ x^2 + 2x + 1 - \dfrac{1}{x - 1} \leqslant x^2 - 2x + 1 + \dfrac{1}{x + 1}; \]
Перенесём в левую часть все слагаемые и приведём к общему знаменателю:
\[ 4x - \dfrac{1}{x - 1} - \dfrac{1}{x + 1} \leqslant 0; \]
\[ \dfrac{4x(x - 1)(x + 1) - (x + 1) - (x - 1)}{(x - 1)(x + 1)} \leqslant 0; \]
\[ \dfrac{4x(x^2 - 1) - x - 1 - x + 1}{(x - 1)(x + 1)} \leqslant 0; \]
\[ \dfrac{4x(x^2 - 1) - 2x}{(x - 1)(x + 1)} \leqslant 0; \]
\[ \left.\quad\quad\quad\quad\;\ \dfrac{4x^3 - 6x}{(x - 1)(x + 1)} \leqslant 0;\quad\right|:4 > 0 \]
\[ \dfrac{x\left(x^2 - \dfrac{3}{2}\right)}{(x - 1)(x + 1)} \leqslant 0. \]
По формуле разности квадратов ($$a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$$) получаем:
\[ x^2 - \dfrac{3}{2} = x^2 - \left(\sqrt{\dfrac{3}{2}}\right)^2 = \left(x - \sqrt{\dfrac{3}{2}}\right)\left(x + \sqrt{\dfrac{3}{2}}\right). \]
Неравенство принимает вид
\[ \dfrac{x\left(x - \sqrt{\dfrac{3}{2}}\right)\left(x + \sqrt{\dfrac{3}{2}}\right)}{(x - 1)(x + 1)} \leqslant 0. \]
Отметим точки на числовой прямой (Неравенство нестрогое, поэтому нули числителя закрашиваем, а нули знаменателя выкалываем.
Нули числителя: $x_1=-\sqrt{\dfrac{3}{2}}, x_2=0, x_3=\sqrt{\dfrac{3}{2}};$
Нули знаменателя: $x_4=-1, x_5=1.$) и решим неравенство методом интервалов.

Получаем:

\[ x\in \left(-\infty; -\sqrt{\dfrac{3}{2}}\right]\cup (-1;0]\cup \left(1;\sqrt{\dfrac{3}{2}}\right]. \]
Ответ: $\left(-\infty; -\sqrt{\dfrac{3}{2}}\right]\cup (-1;0]\cup \left(1;\sqrt{\dfrac{3}{2}}\right].$