Разложим квадратный трёхчлен $x^2-14x+45$ на множители.
Его корнями будут $x_1=5$ и $x_2=9.$ (С помощью дискриминанта решим уравнение
\[
x^2-14x+45=0.
\]
Найдём дискриминант:
\[
D=(-14)^2-4\cdot1\cdot45=196-180=16.
\]
Значит,
\[
\left[
\begin{array}{l}
x_1=\dfrac{14-4}{2}=5,\\[2mm]
x_2=\dfrac{14+4}{2}=9.
\end{array}
\right.
\])Отсюда:
$$x^2-14x+45= (x - x_1)(x - x_2) = (x-9)(x-5),$$
Неравенство принимает вид
$$x -5 - \frac{35x -319}{(x-9)(x-5)} - \frac{1}{x-9} \leqslant 0.$$
Приведём второе и третье слагаемое к общему знаменателю:
$$
x -5 - \frac{35x - 319 + x - 5}{(x-9)(x-5)} \leqslant 0;
$$
$$
x -5 - \frac{36x - 324}{(x-9)(x-5)} \leqslant 0;
$$
$$
x - 5 - \frac{36(x - 9)}{(x-9)(x-5)} \leqslant 0.
$$
Сократим на $(x - 9)$, учитывая, что $x \neq 9$:
$$
x - 5 - \frac{36}{x-5} \leqslant 0.
$$
$$
\frac{(x-5)^2-36}{x-5} \leqslant 0.
$$
По
формуле разности квадратов ($$a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$$)$$(x-5)^2-36 = (x-5-6)(x-5+6)=(x-11)(x+1),$$
тогда
$$\frac{(x-11)(x+1)}{(x-5)} \leqslant 0.$$
Выставим
точки на числовую прямую (Неравенство нестрогое, поэтому нули числителя закрашиваем, а нули знаменателя выкалываем.
Нули числителя: $x_1=-1, x_2=11;$
Нули знаменателя: $x_3=5.$) и решим неравенство методом интервалов, учитывая, что $x \neq 9$.
Получаем:
$$x \in (- \infty; -1] \cup (5; 9) \cup (9; 11].$$
Ответ: $(- \infty; -1] \cup (5; 9) \cup (9; 11]$.
