Заметим, что $5x - 15 = 5(x-3)$, тогда
$$
x^3 + 6x^2 + \frac{8x^2}{x-3} + \frac{5(x-3)}{x-3} \leqslant 5.
$$
Сократим на $(x-3)$, учитывая, что $x \neq 3$:
$$
x^3 + 6x^2 + \frac{8x^2}{x-3} + 5 \leqslant 5;
$$
$$
x^3 + 6x^2 + \frac{8x^2}{x-3} \leqslant 0.
$$
Вынесем $x^2$ за скобки:
$$
x^2\left(x + 6 + \frac{8}{x-3}\right) \leqslant 0.
$$
Приведём выражение в скобках к общему знаменателю:
$$
x^2\left(\frac{(x + 6)(x - 3) + 8}{x-3}\right) \leqslant 0;
$$
$$
x^2\left(\frac{x^2 + 3x - 10}{x-3}\right) \leqslant 0.
$$
Разложим квадратный трёхчлен $x^2 + 3x - 10$ на множители.
Его корнями будут $x_1=-5$ и $x_2=2.$ (С помощью дискриминанта решим уравнение
\[
x^2 + 3x - 10=0.
\]
Найдём дискриминант:
\[
D=3^2-4\cdot1\cdot(-10)=9+40=49.
\]
Значит,
\[
\left[
\begin{array}{l}
x_1=\dfrac{-3-7}{2}=-5,\\[2mm]
x_2=\dfrac{-3+7}{2}=2.
\end{array}
\right.
\]) Значит,
$$x^2 + 3x - 10= (x - x_1)(x - x_2) = (x+5)(x-2).$$
Тогда неравенство принимает вид
$$
\frac{x^2(x+5)(x-2)}{x-3} \leqslant 0.
$$
Отметим
точки на числовой прямой (Неравенство нестрогое, поэтому нули числителя закрашиваем, а нуль знаменателя выкалываем.
Нули числителя: $x_1=-5, x_3=0, x_2=2;$
Нуль знаменателя: $x_4=3.$) и решим неравенство методом интервалов.
Получаем:
$$
x \in (- \infty; -5] \cup \{0\} \cup [2; 3).
$$
Ответ: $(- \infty; -5] \cup \{0\} \cup [2; 3)$.
