Запишем ограничения на аргументы логарифмов:
\[
\begin{cases}
2x+22>0,\\
x+7>0
\end{cases}
\quad\Longleftrightarrow\quad
\begin{cases}
x>-11,\\
x>-7.
\end{cases}
\]
Заметим, что $-11<-7,$ поэтому получаем ограничение
$$
x > -7.\quad (*)
$$
Числитель неравенства разложим дважды, используя
формулу разности квадратов ($a^2-b^2=(a-b)(a+b)$):
\[
x^4-81=\left(x^2-9\right)\left(x^2+9\right)=(x-3)(x+3)\left(x^2+9\right).
\]
Множитель $x^2+9$ положителен при любом $x$:
\[
x^2+9 \geqslant 9 > 0.
\]
Разделим неравенство на $x^2+9 > 0:$
\[
\dfrac{(x-3)(x+3)}{\log_3(2x+22)-\log_{\sqrt{3}}(x+7)}\geqslant 0.
\]
Приведём логарифмы к одному основанию. По
свойствам логарифма ($\log_{a^k}b=\dfrac1k\log_a b$ и $k\log_a b=\log_a b^k$ при $b>0$)\[
\log_{\sqrt3}(x+7)=\log_{3^{\frac12}}(x+7)=2\log_3(x+7)=\log_3(x+7)^2.
\]
Неравенство принимает вид
\[
\dfrac{(x-3)(x+3)}{\log_3(2x+22)-\log_3(x+7)^2}\geqslant 0.
\]
Функция $y = \log_3{t}$ монотонно возрастает, так как $3 > 1$. Воспользуемся методом рационализации:
\[
\dfrac{(x-3)(x+3)}{2x+22-(x+7)^2}\geqslant 0;
\]
\[
\dfrac{(x-3)(x+3)}{2x+22-\left(x^2+14x+49\right)}\geqslant 0;
\]
\[
\dfrac{(x-3)(x+3)}{-x^2-12x-27}\geqslant 0;
\]
\[
\dfrac{(x-3)(x+3)}{-\left(x^2+12x+27\right)}\geqslant 0.
\]
Разложим квадратный трёхчлен $x^2+12x+27$ на множители.
Корни будут $x_1=-9, x_2=-3.$ (По обратной теореме Виета:
Если числа $x_1$ и $x_2$ таковы, что они удовлетворяют условию
\[
\begin{cases}
x_1+x_2=-12,\\
x_1\cdot x_2=27,
\end{cases}
\]
то они являются корнями.
Разложим $27$ на два множителя. Сумму $-12$ даёт пара $-9$ и $-3.$
Проверка:
\[
\begin{cases}
-9+(-3)=-12,\\
(-9)\cdot(-3)=27.
\end{cases}
\]
Значит,
\[
\left[
\begin{array}{l}
x_1=-9,\\
x_2=-3.
\end{array}
\right.
\]) Значит,
\[
x^2+12x+27=(x+3)(x+9),
\]
и неравенство принимает вид
\[
\left.\quad\quad\quad\quad\quad\quad\dfrac{(x-3)(x+3)}{-(x+3)(x+9)}\geqslant 0;\quad\right|\cdot(-1) < 0
\]
\[
\dfrac{(x-3)(x+3)}{(x+3)(x+9)}\leqslant 0.
\]
Решим неравенство методом интервалов:
\[
x\in(-9;-3)\cup(-3;3].
\]
Пересечём с ограничением $(*):$
\[
x\in(-7;-3)\cup(-3;3].
\]
Ответ: $(-7;-3)\cup(-3;3].$
