По
свойству логарифма степени ($\log_a b^k=k\log_a b$ при $b>0$)\[
\log_{0{,}2}\left(0{,}5\cdot 2^x\right)=\log_{0{,}2}2^{x-1}=(x-1)\log_{0{,}2}2.
\]
Функция $y=\log_{0{,}2}t$ монотонно убывает, так как $0<0{,}2<1,$ поэтому $\log_{0{,}2}2<\log_{0{,}2}1=0.$
В числителе вынесем общий множитель $\log_2 x:$
\[
\log_2^2 x-\log_2 x=\log_2 x\left(\log_2 x-1\right).
\]
Получаем:
\[
\left.\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\dfrac{\log_2 x\left(\log_2 x-1\right)}{(x-1)\log_{0{,}2}2}\geqslant 0;\quad\right|\cdot\log_{0{,}2}2<0
\]
\[
\dfrac{\log_2 x\left(\log_2 x-1\right)}{x-1}\leqslant 0;
\]
\[
\dfrac{\left(\log_2 x-\log_2 1\right)\left(\log_2 x-\log_2 2\right)}{x-1}\leqslant 0.
\]
Функция $y=\log_2 t$ монотонно возрастает, так как $2>1.$ Воспользуемся методом рационализации. С учётом ограничения на аргументы логарифмов, получаем:
\[
\begin{cases}
\dfrac{(x-1)(x-2)}{x-1}\leqslant 0,\\[3mm]
x>0.
\end{cases}
\]
Решим первое неравенство методом интервалов:
\[
x\in(-\infty;1)\cup(1;2].
\]
Учтём условие $x>0:$
\[
x\in(0;1)\cup(1;2].
\]
Ответ: $(0;1)\cup(1;2].$
