Преобразуем числитель по
формуле квадрата разности ($a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$):
\[
25x^2-160x+256=(5x)^2-2\cdot 5x\cdot 16+16^2=(5x-16)^2.
\]
Неравенство принимает вид
\[
\dfrac{(5x-16)^2}{\log_2\left(4^x-32\right)-\log_2\left(2^{x+2}\right)}\leqslant 0.
\]
Функция $y=\log_2 t$ монотонно возрастает, так как $2>1.$ Воспользуемся методом рационализации. Перейдём к системе, равносильной исходному неравенству:
\[
\begin{cases}
\dfrac{(5x-16)^2}{4^x-32-2^{x+2}}\leqslant 0,\\[2mm]
4^x-32>0,\\
2^{x+2}>0.
\end{cases}
\]
Третье неравенство выполняется при любом $x.$
Решим второе неравенство системы. Функция $y=2^u$ монотонно возрастает, так как $2>1,$ поэтому
\[
4^x-32>0;
\]
\[
2^{2x}>2^5;
\]
\[
2x>5;
\]
\[
x>\dfrac52.
\]
Система принимает следующий вид
\[
\begin{cases}
\dfrac{(5x-16)^2}{4^x-32-2^{x+2}}\leqslant 0,\\[2mm]
x>\dfrac52.
\end{cases}
\]
Решим первое неравенство. Преобразуем знаменатель:
\[
4^x-32-2^{x+2} = 4^x-2^{x+2}-32 = \left(2^x\right)^2 - 4\cdot 2^x - 32.
\]
Сделаем замену $t=2^x:$
\[
4^x-32-2^{x+2}=t^2-4t-32.
\]
Разложим квадратный трёхчлен $t^2-4t-32$ на множители.
Корни будут $t_1=-4, t_2=8.$ (По обратной теореме Виета:
Если числа $t_1$ и $t_2$ таковы, что они удовлетворяют условию
\[
\begin{cases}
t_1+t_2=4,\\
t_1\cdot t_2=-32,
\end{cases}
\]
то они являются корнями.
Разложим $-32$ на два множителя. Сумму $4$ даёт пара $-4$ и $8.$
Проверка:
\[
\begin{cases}
-4+8=4,\\
(-4)\cdot 8=-32.
\end{cases}
\]
Значит,
\[
\left[
\begin{array}{l}
t_1=-4,\\
t_2=8.
\end{array}
\right.
\]) Значит,
\[
t^2-4t-32=(t+4)(t-8)=\left(2^x+4\right)\left(2^x-8\right).
\]
Неравенство принимает вид
\[
\dfrac{(5x-16)^2}{\left(2^x+4\right)\left(2^x-8\right)}\leqslant 0.
\]
Множитель $2^x+4$ положителен при любом $x,$ поэтому домножим неравенство на этот множитель. Ещё раз воспользуемся
методом рационализации:
\[
\dfrac{(5x-16)^2}{2^x-2^3}\leqslant 0
\quad\Longleftrightarrow\quad
\dfrac{(5x-16)^2}{x-3}\leqslant 0.
\]
Решим неравенство методом интервалов:
\[
x\in (-\infty;3)\cup\left\{\dfrac{16}{5}\right\}.
\]
С учётом ограничения $x > \dfrac{5}{2}$ получаем:
\[
x\in\left(\dfrac52;3\right)\cup\left\{\dfrac{16}{5}\right\}.
\]
Ответ: $\left(\dfrac52;3\right)\cup\left\{\dfrac{16}{5}\right\}.$
