Так как мы будем преобразовывать логарифмы, сначала найдём ограничения на неравенство:
$$
\begin{cases}
7x^2+6>0,\\
x^2+x+1>0,\\
\dfrac{x}{x+4}+6>0.
\end{cases}
$$
1) Решим первое неравенство:
$$
7x^2+6>0.
$$
Так как $x^2\geqslant0$, то $7x^2\geqslant0$ и
$$
7x^2+6\geqslant6>0.
$$
Следовательно, первое неравенство выполняется при всех действительных $x$.
2) Решим второе неравенство:
$$
x^2+x+1>0.
$$
Дискриминант квадратного трёхчлена равен
$$
D=1-4=-3<0.
$$
Старший коэффициент положителен, поэтому $x^2+x+1>0$ при всех действительных $x$.
3) Решим третье неравенство:
$$
\dfrac{x}{x+4}+6>0;
$$
$$
\dfrac{x+6(x+4)}{x+4}>0;
$$
$$
\dfrac{7x+24}{x+4}>0.
$$
Решим последнее неравенство методом интервалов:
Итого, получаем:
$$
x\in(-\infty;-4)\cup\left(-\dfrac{24}{7};+\infty\right).\quad (*)
$$
По свойству логарифмов ($\log_a b-\log_a c=\log_a\dfrac bc$)$$
\log_{12}(7x^2+6)-\log_{12}(x^2+x+1)
=
\log_{12}{\left(\dfrac{7x^2+6}{x^2+x+1}\right)}.
$$
Исходное неравенство принимает следующий вид:
$$
\log_{12}{\left(\dfrac{7x^2+6}{x^2+x+1}\right)}
{\geqslant
\log_{12}\left(\dfrac{x}{x+4}+6\right)}.
$$
Функция $\log_{12}t$ возрастает, поэтому исходное неравенство равносильно неравенству
$$
\dfrac{7x^2+6}{x^2+x+1}
\geqslant
\dfrac{x}{x+4}+6.
$$
Перенесём число $6$ в левую часть и сначала объединим его с первой дробью:
$$
\dfrac{7x^2+6}{x^2+x+1}-6\geqslant\dfrac{x}{x+4};
$$
$$
\dfrac{7x^2+6-6(x^2+x+1)}{x^2+x+1}\geqslant\dfrac{x}{x+4};
$$
$$
\dfrac{x^2-6x}{x^2+x+1}\geqslant\dfrac{x}{x+4};
$$
$$
\dfrac{x(x-6)}{x^2+x+1}-\dfrac{x}{x+4}\geqslant0.
$$
Приведём левую часть к общему знаменателю:
$$
\dfrac{x\bigl((x-6)(x+4)-(x^2+x+1)\bigr)}
{(x^2+x+1)(x+4)}\geqslant0;
$$
$$
\dfrac{x(x^2-2x-24-x^2-x-1)}
{(x^2+x+1)(x+4)}\geqslant0;
$$
$$
\dfrac{-x(3x+25)}{(x^2+x+1)(x+4)}\geqslant0.
$$
Так как $x^2+x+1>0$, соответствующий множитель не влияет на знак дроби. Решим неравенство методом интервалов:
Получаем:
$$
x\in\left(-\infty;-\dfrac{25}{3}\right]\cup(-4;0].
$$
Пересечём полученное множество с $(*):$
$$
x\in\left(-\infty;-\dfrac{25}{3}\right]
\cup
\left(-\dfrac{24}{7};0\right].
$$
Ответ: $\left(-\infty;-\dfrac{25}{3}\right]\cup\left(-\dfrac{24}{7};0\right]$.
