Воспользуемся
формулой перехода к новому основанию ($\dfrac{\log_c b}{\log_c a}=\log_a b$):
\[
\dfrac{\log_5(5x-27)}{\log_5(x-5)}=\log_{x-5}(5x-27).
\]
Неравенство принимает вид
\[
\log_{x-5}(5x-27)\geqslant 1.
\]
Запишем $1=\log_{x-5}(x-5)$ и перенесём всё в левую часть:
\[
\log_{x-5}(5x-27)-\log_{x-5}(x-5)\geqslant 0.
\]
Применим метод рационализации для логарифма с переменным основанием. Получаем систему, равносильную исходному неравенству:
\[
\begin{cases}
\dfrac{(5x-27)-(x-5)}{(x-5)-1}\geqslant 0,\\[2mm]
5x-27>0,\\
x-5>0.
\end{cases}
\]
Преобразуем каждое неравенство системы:
\[
\begin{cases}
\dfrac{4x-22}{x-6}\geqslant 0,\\[2mm]
x>5{,}4,\\
x>5.
\end{cases}
\]
Второе и третье неравенства вместе дают $x>5{,}4.$
Решим первое неравенство методом интервалов:
\[
x\in(-\infty;5{,}5]\cup(6;+\infty).
\]
Учтём условие $x>5{,}4:$
\[
x\in(5{,}4;5{,}5]\cup(6;+\infty).
\]
Ответ: $(5{,}4;5{,}5]\cup(6;+\infty).$
