Оценим знаменатель. Квадрат любого числа неотрицателен, поэтому
\[
\log_6^2\left(2x^2-10x+12{,}5\right) + 1 \geqslant 1 > 0,
\]
Знаменатель положителен при всех допустимых $x,$ поэтому знак дроби определяет числитель.
Таким образом, неравенство равносильно следующей системе:
\[
\begin{cases}
\log_2 x^2-\log_3 x^2\leqslant 0,\\
2x^2-10x+12{,}5>0,\\
x^2>0.
\end{cases}
\]
Третье неравенство равносильно условию $x \neq 0.$
Решим второе неравенство:
\[
\left.\quad\quad\;\;2x^2-10x+12{,}5>0;\quad\right|\cdot 2
\]
\[
4x^2-20x+25>0.
\]
По
формуле квадрата разности ($a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$)\[
4x^2-20x+25=(2x)^2-2\cdot 2x\cdot 5+5^2=(2x-5)^2,
\]
поэтому
\[
(2x-5)^2>0;
\]
\[
x\neq\dfrac52.
\]
Получаем:
\[
\begin{cases}
\log_2 x^2-\log_3 x^2\leqslant 0,\\[1mm]
x \neq 0,\\[1mm]
x\neq\dfrac52.
\end{cases}
\]
Решим неравенство
\[
\log_2 x^2-\log_3 x^2\leqslant 0.
\]
Перейдём второй логарифм к основанию $2$ по
формуле перехода к новому основанию ($\log_a b=\dfrac{\log_c b}{\log_c a}$):
\[
\log_3 x^2=\dfrac{\log_2 x^2}{\log_2 3}.
\]
Тогда
\[
\log_2 x^2-\dfrac{\log_2 x^2}{\log_2 3}\leqslant 0;
\]
\[
\left(1-\dfrac{1}{\log_2 3}\right)\log_2 x^2\leqslant 0.
\]
Функция $y=\log_2 t$ монотонно возрастает, так как $2>1,$ поэтому
$$
\log_2 3>\log_2 2=1.
$$
Значит, $\dfrac{1}{\log_2 3}<1,$ и выражение в скобках положительно:
\[
1-\dfrac{1}{\log_2 3}>0.
\]
Разделим обе части неравенства на это число:
\[
\log_2 x^2\leqslant 0;
\]
\[
\log_2 x^2\leqslant\log_2 1;
\]
\[
x^2\leqslant 1;
\]
\[
x^2-1\leqslant 0.
\]
По
формуле разности квадратов ($a^2-b^2=(a-b)(a+b)$) получаем:
\[
(x-1)(x+1)\leqslant 0.
\]
Решим полученное неравенство с помощью метода интервалов:
\[
x\in[-1;1].
\]
С учётом ограничений получаем:
\[
x\in[-1;0)\cup(0;1].
\]
Ответ: $[-1;0)\cup(0;1].$
