Запишем ограничения на логарифмы:
$$
\begin{gathered}
\begin{cases}
\dfrac1x-1>0\\[5pt]
\dfrac1x+1>0\\[5pt]
8x-1>0
\end{cases}
\quad\Longleftrightarrow\quad
\begin{cases}
\dfrac{1-x}{x}>0\\[5pt]
\dfrac{1+x}{x}>0\\[5pt]
x>\dfrac18
\end{cases}
\Longleftrightarrow
\begin{cases}
x\in(0;1)\\[5pt]
x\in(-\infty;-1)\cup(0;+\infty)\\[5pt]
x\in\left(\dfrac18;+\infty\right)
\end{cases}
\end{gathered}
$$
Пересечём полученные множества:
$$
x\in\left(\dfrac18;1\right).\quad(*)
$$
По свойству суммы логарифмов ($\log_a b+\log_a c=\log_a(bc)$) получаем:
$$
\log_3\left(\dfrac1x-1\right)+\log_3\left(\dfrac1x+1\right)
=\log_3\left(\left(\dfrac1x-1\right)\left(\dfrac1x+1\right)\right)
=\log_3\left(\dfrac1{x^2}-1\right).
$$
Воспользуемся монотонным возрастанием функции $\log_3 t:$
$$
\log_3\left(\dfrac1{x^2}-1\right)\leqslant\log_3(8x-1);
$$
$$
\dfrac1{x^2}-1\leqslant 8x-1.
$$
Преобразуем:
$$
\dfrac1{x^2}-8x\leqslant 0;
$$
$$
\dfrac{1-8x^3}{x^2}\leqslant 0.
$$
По
формуле разности кубов ($a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$):
$$
1-8x^3=1^3-(2x)^3=(1-2x)(1+2x+4x^2),
$$
поэтому
$$
\dfrac{(1-2x)(1+2x+4x^2)}{x^2}\leqslant 0.
$$
Найдём дискриминант квадратного трёхчлена $4x^2+2x+1:$
$$
D=2^2-4\cdot4\cdot1=-12<0.
$$
Старший коэффициент $4>0$, поэтому ветви параболы направлены вверх и $4x^2+2x+1>0$ при всех $x$. Следовательно, положительный множитель $1+2x+4x^2$ не влияет на знак выражения, и неравенство равносильно неравенству
$$
\dfrac{1-2x}{x^2}\leqslant0.
$$
Так как $x^2>0$ на множестве $(*),$ получаем
$$
1-2x\leqslant 0;
$$
$$
x\geqslant\dfrac12.
$$
Пересечём с $(*):$
$$
x\in\left[\dfrac12;1\right).
$$
Ответ: $\left[\dfrac12;1\right).$
