Разложим квадратный трёхчлен $x^2+2x-3$ на множители.
Корни будут $x_1=-3, x_2=1.$ (По обратной теореме Виета:
Если числа $x_1$ и $x_2$ таковы, что они удовлетворяют условию
\[
\begin{cases}
x_1+x_2=-2,\\
x_1\cdot x_2=-3,
\end{cases}
\]
то они являются корнями.
Разложим $-3$ на два множителя. Сумму $-2$ даёт пара $-3$ и $1.$
Проверка:
\[
\begin{cases}
-3+1=-2,\\
(-3)\cdot 1=-3.
\end{cases}
\]
Значит,
\[
\left[
\begin{array}{l}
x_1=-3,\\
x_2=1.
\end{array}
\right.
\])Значит,
\[
x^2+2x-3=(x-1)(x+3).
\]
Преобразуем знаменатель по
свойству логарифма степени ($\log_a{b^k} = k\log_a{b}$ при $b > 0$.):
\[
\log_3\left(8\cdot2^x\right) = \log_3\left(2^{x+3}\right)=(x+3)\log_3 2.
\]
Заметим, что $\log_3 2 > \log_3 1 = 0$. Неравенство принимает вид
\[
\left.\quad\quad\quad\quad\quad\quad\;\,\dfrac{(x-1)(x+3)}{(x+3)\log_3 2}\leqslant 0;\quad\right|\cdot\log_3 2>0
\]
\[
\dfrac{(x-1)(x+3)}{x+3}\leqslant 0.
\]
Решим полученное неравенство методом интервалов:
\[
x\in(-\infty;-3)\cup(-3;1].
\]
Ответ: $(-\infty;-3)\cup(-3;1].$
