Преобразуем знаменатель. По
формуле квадрата разности ($a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$) \[
100x^2-140x+49=(10x)^2-2\cdot10x\cdot7+7^2=(10x-7)^2.
\]
Найдём ОДЗ неравенства:
\[
\begin{cases}
4^x-2>0,\\
2^x>0,\\
(10x - 7)^2 \neq 0.
\end{cases}
\]
Неравенство $2^x>0$ выполняется при всех $x.$ Так как функция $y = 2^t$ монотонно возрастает, получаем
\[
4^x-2>0;
\]
\[
2^{2x}>2^1;
\]
\[
x>0{,}5.
\]
Последнее условие выполнено при $x \neq 0{,}7$.
Итого, ОДЗ:
\[
x \in (0{,}5; 0{,}7)\cup(0{,}7;+\infty).
\]
Исходное неравенство принимает вид:
\[
\dfrac{\log_8(4^x-2)-\log_8 2^x}{(10x-7)^2}\leqslant0.
\]
Знаменатель левой части обращается в $0$ при $x = 0{,}7$ и положителен при остальных значениях $x$, так как является квадратом. Условие $x \neq 0{,}7$ учтено в ОДЗ, поэтому множим неравенство на $(10x-7)^2$:
\[
\log_8(4^x-2)-\log_8 2^x\leqslant0;
\]
\[
\log_8(4^x-2)\leqslant\log_8 2^x.
\]
Функции $y = \log_8 t$ монотонно возрастает, так как $8 > 1$, следовательно,
\[
\log_8(4^x-2)\leqslant\log_8 2^x;
\]
\[
4^x-2\leqslant2^x;
\]
\[
4^x-2^x-2\leqslant0.
\]
Сделаем замену $t=2^x:$
\[
t^2-t-2\leqslant0.
\]
Рассмотрим квадратный трёхчлен $t^2-t-2.$
Корни будут $t_1=-1, t_2=2.$ (По обратной теореме Виета:
Если числа $t_1$ и $t_2$ таковы, что они удовлетворяют условию
\[
\begin{cases}
t_1+t_2=1,\\
t_1\cdot t_2=-2,
\end{cases}
\]
то они являются корнями.
Разложим $-2$ на два множителя. Сумму $1$ даёт пара $-1$ и $2.$
Проверка:
\[
\begin{cases}
-1+2=1,\\
(-1)\cdot 2=-2.
\end{cases}
\]
Значит,
\[
\left[
\begin{array}{l}
t_1=-1,\\
t_2=2.
\end{array}
\right.
\])По
правилу разложения квадратного трёхчлена на множители получаем
\[
(t+1)(t-2)\leqslant0.
\]
По методу интервалов получаем:
\[
-1 \leqslant t \leqslant 2.
\]
Вернёмся к переменной $x:$
\[
-1\leqslant2^x\leqslant2.
\]
Неравенство $-1\leqslant2^x$ выполняется при всех $x,$ поэтому остаётся
\[
2^x\leqslant2^1.
\]
Так как функция $y = 2^x$ монотонно возрастает, то
\[
x\leqslant1.
\]
С учётом ОДЗ получаем:
\[
x\in\left(0{,}5;0{,}7\right)\cup(0{,}7;1].
\]
Ответ: $\left(0{,}5;0{,}7\right)\cup(0{,}7;1].$
