Запишем ограничения на аргументы логарифмов:
\[
\begin{cases}
x^8 > 0,\\
x > 0
\end{cases}
\quad\Longleftrightarrow\quad
x > 0.
\]
По формуле логарифма произведения ($$\log_a(b\cdot c)=\log_a b+\log_a c$$) \[
\log_3(81x)=\log_3 81+\log_3 x=4+\log_3 x.
\]
Так как $x>0,$ то чётная степень выносится
без модуля:
\[
\log_3 x^8=8\log_3 x.
\]
Неравенство принимает вид
\[
\dfrac{4+\log_3 x}{\log_3 x-4}+\dfrac{\log_3 x-4}{4+\log_3 x}\geqslant\dfrac{24-8\log_3 x}{\log_3^2 x-16}.
\]
Сделаем замену $t=\log_3 x:$
\[
\dfrac{t+4}{t-4}+\dfrac{t-4}{t+4}
\geqslant
\dfrac{8(3-t)}{t^2-16}.
\]
По
формуле разности квадратов ($$a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$$) \[
t^2-16=(t-4)(t+4).
\]
Приведём левую часть к общему знаменателю:
\[
\dfrac{(t+4)^2 + (t-4)^2}{(t-4)(t+4)}
\geqslant
\dfrac{8(3-t)}{(t-4)(t+4)}.
\]
Перенесём всё в левую часть и приведём подобные слагаемые:
\[
\dfrac{(t+4)^2+(t-4)^2+8(t-3)}{(t-4)(t+4)}\geqslant0;
\]
\[
\dfrac{t^2+8t+16+t^2-8t+16+8t-24}{(t-4)(t+4)}\geqslant0;
\]
\[
\dfrac{2t^2+8t+8}{(t-4)(t+4)}\geqslant0;
\]
\[
\dfrac{2(t^2+4t+4)}{(t-4)(t+4)}\geqslant0.
\]
По
формуле квадрата суммы ($$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$$) $t^2+4t+4=(t+2)^2,$ поэтому
\[
\dfrac{2(t+2)^2}{(t-4)(t+4)}\geqslant 0.
\]
Решим неравенство методом интервалов:
\[
t\in(-\infty;-4)\cup\{-2\}\cup(4;+\infty).
\]
Сделаем обратную замену. Функция $\log_3 x$ возрастает, так как $3>1:$
\[
\left[
\begin{array}{l}
\log_3 x<-4\\
\log_3 x=-2\\
\log_3 x>4
\end{array}
\right.
\quad\Longleftrightarrow\quad
\left[
\begin{array}{l}
\log_3 x<\log_3\dfrac{1}{81}\\[3mm]
\log_3 x=\log_3\dfrac19\\[3mm]
\log_3 x>\log_3 81
\end{array}
\right.
\quad\Longleftrightarrow\quad
\left[
\begin{array}{l}
0<x<\dfrac{1}{81}\\[3mm]
x=\dfrac19\\[3mm]
x>81
\end{array}
\right.
\]
\[
x\in\left(0;\dfrac{1}{81}\right)\cup\left\{\dfrac19\right\}\cup(81;+\infty).
\]
Ответ: $\left(0;\dfrac{1}{81}\right)\cup\left\{\dfrac19\right\}\cup(81;+\infty).$
