Запишем ограничения на аргументы логарифмов:
\[
\begin{cases}
3x+25>0,\\
x+7>0
\end{cases}
\quad\Longleftrightarrow\quad
\begin{cases}
x>-\dfrac{25}{3},\\
x>-7
\end{cases}
\]
Заметим, что
\[
-\dfrac{25}{3} < -\dfrac{21}{3} = -7,
\]
поэтому получаем ограничение
$$
x > -7.\quad (*)
$$
Знаменатель неравенства разложим дважды используя
формулу разности квадратов ($a^2-b^2=(a-b)(a+b)$):
\[
x^4-81=\left(x^2-9\right)\left(x^2+9\right)=(x-3)(x+3)\left(x^2+9\right).
\]
Множитель $x^2+9$ положителен при любом $x$:
\[
x^2+9 \geqslant 9 > 0.
\]
Умножим неравенство на $x^2+9 > 0:$
\[
\dfrac{\log_3(3x+25)-\log_{\sqrt{3}}(x+7)}{(x-3)(x+3)}\geqslant 0.
\]
Приведём логарифмы к одному основанию. По
свойствам логарифма ($\log_{a^k}b=\dfrac1k\log_a b$ и $k\log_a b=\log_a b^k$ при $b>0$)\[
\log_{\sqrt3}(x+7)=\log_{3^{\frac12}}(x+7)=2\log_3(x+7)=\log_3(x+7)^2.
\]
Неравенство принимает вид
\[
\dfrac{\log_3(3x+25)-\log_3(x+7)^2}{(x-3)(x+3)}\geqslant 0.
\]
Функция $y = \log_3{t}$ монотонно возрастает, так как $3 > 1$. Воспользуемся методом рационализации:
\[
\dfrac{3x+25-(x+7)^2}{(x-3)(x+3)}\geqslant 0;
\]
\[
\dfrac{3x+25-\left(x^2+14x+49\right)}{(x-3)(x+3)}\geqslant 0;
\]
\[
\dfrac{-x^2-11x-24}{(x-3)(x+3)}\geqslant 0;
\]
\[
\dfrac{-\left(x^2+11x+24\right)}{(x-3)(x+3)}\geqslant 0.
\]
Разложим квадратный трёхчлен $x^2+11x+24$ на множители.
Его корни будут равны $x_1=-8, x_2=-3.$ (По обратной теореме Виета:
Если числа $x_1$ и $x_2$ таковы, что они удовлетворяют условию
\[
\begin{cases}
x_1+x_2=-11,\\
x_1\cdot x_2=24,
\end{cases}
\]
то они являются корнями.
Разложим $24$ на два множителя. Сумму $-11$ даёт пара $-8$ и $-3.$
Проверка:
\[
\begin{cases}
-8+(-3)=-11,\\
(-8)\cdot(-3)=24.
\end{cases}
\]
Значит,
\[
\left[
\begin{array}{l}
x_1=-8,\\
x_2=-3.
\end{array}
\right.
\]) Значит,
\[
x^2+11x+24=(x+3)(x+8),
\]
и неравенство принимает вид
\[
\left.\quad\quad\quad\quad\quad\quad\dfrac{-(x+3)(x+8)}{(x-3)(x+3)}\geqslant 0;\quad\right|\cdot(-1) < 0
\]
\[
\dfrac{(x+3)(x+8)}{(x-3)(x+3)}\leqslant 0.
\]
Решим неравенство методом интервалов:
\[
x\in[-8;-3)\cup(-3;3).
\]
Пересечём с ограничением $(*):$
\[
x\in(-7;-3)\cup(-3;3).
\]
Ответ: $(-7;-3)\cup(-3;3).$
