Преобразуем знаменатель левой части. По
свойству логарифма степени ($\log_{a}b^k = k\log_a{b}$ при $b > 0$.)$$
\log_3(x^4)=\log_3\bigl((x^2)^2\bigr)=2\log_3(x^2).
$$
Отсюда, по
формуле квадрата суммы ($a^2 + 2ab + b^2=(a + b)^2$):
$$
\log_3^2(x^2)+\log_3(x^4)+1=\log_3^2(x^2)+2\log_3(x^2)+1=\bigl(\log_3(x^2)+1\bigr)^2.
$$
Неравенство принимает вид
$$
\dfrac{\log_3(3-x)-\log_3(x+2)}{\bigl(\log_3(x^2)+1\bigr)^2}\geqslant 0.
$$
Найдём значения, при которых знаменатель равен $0$:
\[
\log_3(x^2)+1 = 0;
\]
\[
\log_3(x^2)= \log_3(3^{-1});
\]
\[
x^2=\dfrac13;
\]
\[
x=\pm\dfrac{1}{\sqrt3}.
\]
Найдём ОДЗ неравенства:
\[
\begin{cases}
3-x>0,\\
x+2>0,\\
x^2>0,\\
\log_3(x^2)+1\neq 0
\end{cases}
\quad \Longleftrightarrow \quad
\begin{cases}
x<3,\\
x>-2,\\
x\neq 0,\\
x\neq\pm\dfrac{1}{\sqrt3}.
\end{cases}
\]
Отметим все условия на числовой прямой:
$$
x\in\left(-2;-\dfrac{1}{\sqrt3}\right)\cup\left(-\dfrac{1}{\sqrt3};0\right)\cup\left(0;\dfrac{1}{\sqrt3}\right)\cup\left(\dfrac{1}{\sqrt3};3\right).
$$
Вернёмся к исходному неравенству. В знаменателе находится выражение в квадрате, поэтому на ОДЗ оно знаменатель положителен. Значит, знак дроби определяется числителем:
$$
\log_3(3-x)\geqslant\log_3(x+2).
$$
Функция $y = \log_3 t$ монотонно возрастает, так как $3 > 1$. Следовательно,
\[
3-x\geqslant x+2;
\]
\[
x\leqslant\dfrac12.
\]
С учётом ОДЗ получаем:
$$
x\in\left(-2;-\dfrac{1}{\sqrt3}\right)\cup\left(-\dfrac{1}{\sqrt3};0\right)\cup\left(0;\dfrac12\right].
$$
Ответ: $\left(-2;-\dfrac{1}{\sqrt3}\right)\cup\left(-\dfrac{1}{\sqrt3};0\right)\cup\left(0;\dfrac12\right].$
