Логарифмы определены при $x>0.$
По формуле логарифма произведения ($\log_a(bc)=\log_a b+\log_a c$)\[
\log_3(3x)=\log_3 3+\log_3 x=1+\log_3 x;
\]
\[
\log_3(9x)=\log_3 9+\log_3 x=2+\log_3 x.
\]
Тогда по
формуле квадрата суммы ($(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$) получаем:
\[
\log_3^2(3x)-1=(1+\log_3 x)^2-1=\log_3^2 x+2\log_3 x.
\]
Неравенство примет вид:
\[
\dfrac{\log_3^2 x+2\log_3 x}{2+\log_3 x}+\dfrac{1}{\log_3 x-4}-6\leqslant0.
\]
Пусть $t=\log_3 x,$ тогда
\[
\dfrac{t(t+2)}{t+2}+\dfrac{1}{t-4}-6\leqslant0.
\]
Сократим первую дробь на $t+2,$ учитывая, что знаменатель не равен нулю, то есть $t\neq-2:$
\[
\begin{cases}
t+\dfrac{1}{t-4}-6\leqslant0,\\[3mm]
t\neq-2
\end{cases}
\quad\Longleftrightarrow\quad
\begin{cases}
\dfrac{t(t-4)+1-6(t-4)}{t-4}\leqslant0,\\[3mm]
t\neq-2
\end{cases}
\quad\Longleftrightarrow\quad
\begin{cases}
\dfrac{t^2-10t+25}{t-4}\leqslant0,\\[3mm]
t\neq-2.
\end{cases}
\]По
формуле квадрата разности ($a^2 - 2ab + b^2=(a - b)^2$) получаем:
\[
t^2-10t+25=(t-5)^2,
\]
отсюда
\[
\begin{cases}
\dfrac{(t-5)^2}{t-4}\leqslant0\\[3mm]
t\neq-2
\end{cases}
\]
Решим первое неравенство системы методом интервалов:
\[
\begin{cases}
\left[
\begin{array}{l}
t<4\\
t=5
\end{array}
\right.\\
t\neq-2
\end{cases}
\]
Сделаем обратную замену, и воспользуемся монотонным возрастанием функции $\log_3 x:$
\[
\begin{cases}
\left[
\begin{array}{l}
\log_3 x<4,\\
\log_3 x=5,
\end{array}
\right.\\
\log_3 x\neq-2
\end{cases}
\quad\Longleftrightarrow\quad
\begin{cases}
\left[
\begin{array}{l}
\log_3 x<\log_3 81,\\
\log_3 x=\log_3 243,
\end{array}
\right.\\[1mm]
\log_3 x\neq\log_3\dfrac19
\end{cases}
\quad\Longleftrightarrow\quad
\begin{cases}
\left[
\begin{array}{l}
0<x<81,\\
x=243,
\end{array}
\right.\\[1mm]
x\neq\dfrac19.
\end{cases}
\]
Получаем:
\[
x\in\left(0;\dfrac19\right)\cup\left(\dfrac19;81\right)\cup\{243\}.
\]
Ответ: $\left(0;\dfrac19\right)\cup\left(\dfrac19;81\right)\cup\{243\}.$
