Преобразуем выражение под логарифмом в левой части.
Разложим квадратный трёхчлен $x^2-2x-8$ на множители.
Корни будут $x_1=-2, x_2=4.$ (По обратной теореме Виета:
Если числа $x_1$ и $x_2$ таковы, что они удовлетворяют условию
\[
\begin{cases}
x_1+x_2=2,\\
x_1\cdot x_2=-8,
\end{cases}
\]
то они являются корнями.
Разложим $-8$ на два множителя. Сумму $2$ даёт пара $-2$ и $4.$
Проверка:
\[
\begin{cases}
-2+4=2,\\
(-2)\cdot 4=-8.
\end{cases}
\]
Значит,
\[
\left[
\begin{array}{l}
x_1=-2,\\
x_2=4.
\end{array}
\right.
\]) Значит,
\[
x^2-2x-8=(x+2)(x-4),
\]
поэтому
\[
(x-4)\left(x^2-2x-8\right)=(x-4)(x-4)(x+2)=(x-4)^2(x+2).
\]
По
свойству логарифма ($\log_{a^k}b=\dfrac1k\log_a b$) получаем:
\[
\log_{25}\bigl((x-4)^2(x+2)\bigr)=\log_{5^2}\bigl((x-4)^2(x+2)\bigr)=0{,}5\log_5\bigl((x-4)^2(x+2)\bigr).
\]
Неравенство принимает вид
\[
\left.\quad\quad\quad\;\; 0{,}5\log_5\bigl((x-4)^2(x+2)\bigr)\geqslant 0{,}5\log_5(x-4)^2;\quad\right|:0{,}5
\]
\[
\log_5\bigl((x-4)^2(x+2)\bigr)\geqslant\log_5(x-4)^2.
\]
Функция $y=\log_5 t$ монотонно возрастает, так как $5>1,$ поэтому неравенство равносильно системе
\[
\begin{cases}
(x-4)^2(x+2)\geqslant(x-4)^2,\\
(x-4)^2>0.
\end{cases}
\]
Квадрат положителен, когда выражение под ним не равно нулю, поэтому второе условие даёт $x\neq 4.$ Преобразуем первое неравенство:
\[
(x-4)^2(x+2)-(x-4)^2\geqslant 0;
\]
\[
(x-4)^2(x+2-1)\geqslant 0;
\]
\[
(x-4)^2(x+1)\geqslant 0.
\]
Воспользуемся методом интервалов с учётом условия $x\neq 4:$
\[
x\in[-1;4)\cup(4;+\infty).
\]
Ответ: $[-1;4)\cup(4;+\infty).$
