Запишем ограничения на аргументы логарифмов:
\[
\begin{cases}
4x^2 > 0,\\
x > 0
\end{cases}
\quad\Longleftrightarrow\quad
x > 0.
\]
По
формуле логарифма произведения ($$\log_a(b\cdot c) = \log_a{b} + \log_a{c}$$)\[
\log_2(4x^2)=\log_2 4+\log_2 x^2 = 2 + \log_2 x^2.
\]
Так как $x>0,$ то чётная степень выносится без модуля:
\[
\log_2 x^2=2\log_2 x.
\]
Числитель дроби принимает вид
\[
\log_2(4x^2)+35=2+2\log_2 x+35=2\log_2 x+37,
\]
Преобразуем неравенство:
\[
\dfrac{2+2\log_2 x+35}{\log_2^2 x-36}\geqslant -1;
\]
\[
\dfrac{2\log_2 x+37}{\log_2^2 x-36}\geqslant -1.
\]
Сделаем замену $t=\log_2 x:$
\[
\dfrac{2t+37}{t^2-36}\geqslant -1;
\]
\[
\dfrac{2t+37}{t^2-36}+1\geqslant 0;
\]
\[
\dfrac{2t+37+t^2-36}{t^2-36}\geqslant 0;
\]
\[
\dfrac{t^2+2t+1}{t^2-36}\geqslant 0.
\]
Применим
формулы квадрата суммы ($a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$) и
разности квадратов ($a^2-b^2=(a-b)(a+b)$):
\[
t^2+2t+1 = t^2 + 2\cdot 1 \cdot t + 1^2 = (t+1)^2;
\]
\[
t^2-36=(t-6)(t+6).
\]
Получаем:
\[
\dfrac{(t+1)^2}{(t-6)(t+6)}\geqslant 0.
\]
\[
t\in(-\infty;-6)\cup\{-1\}\cup(6;+\infty).
\]
Сделаем обратную замену. Функция $\log_2 x$ возрастает, так как $2>1,$ поэтому
\[
\left[
\begin{array}{l}
\log_2 x<-6,\\[3mm]
\log_2 x=-1,\\[3mm]
\log_2 x>6
\end{array}
\right.
\quad\Longleftrightarrow\quad
\left[
\begin{array}{l}
\log_2 x<\log_2\dfrac{1}{64},\\[3mm]
\log_2 x=\log_2\dfrac12,\\[3mm]
\log_2 x>\log_2 64
\end{array}
\right.
\quad\Longleftrightarrow\quad
\left[
\begin{array}{l}
0<x<\dfrac{1}{64},\\[3mm]
x=\dfrac12,\\[3mm]
x>64.
\end{array}
\right.
\]
Объединяем решения:
\[
x\in\left(0;\dfrac{1}{64}\right)\cup\left\{\dfrac12\right\}\cup(64;+\infty).
\]
Ответ: $\left(0;\dfrac{1}{64}\right)\cup\left\{\dfrac12\right\}\cup(64;+\infty).$
