Преобразуем числитель и знаменатель неравенства:
\[
\log_2\left(2x^2-17x+35\right)-1=\log_2\left(2x^2-17x+35\right)-\log_2 2;
\]
\[
\log_7(x+6)=\log_7(x+6)-\log_7 1.
\]
Неравенство принимает вид
\[
\dfrac{\log_2\left(2x^2-17x+35\right)-\log_2 2}{\log_7(x+6)-\log_7 1}\leqslant 0.
\]
Функции $y = \log_2{t}$ и $y = \log_7{t}$ монотонно возрастают, так как $2 > 1$ и $7 > 1$. Тогда неравенство равносильно системе
\[
\begin{cases}
\dfrac{2x^2-17x+35-2}{x+6-1}\leqslant 0,\\[3mm]
2x^2-17x+35>0,\\
x+6>0
\end{cases}
\quad\Longleftrightarrow\quad
\begin{cases}
\dfrac{2x^2-17x+33}{x+5}\leqslant 0,\\[3mm]
2x^2-17x+35>0,\\
x>-6.
\end{cases}
\]
Разложим квадратные трёхчлены $2x^2-17x+33$ и $2x^2-17x+35$ на множители.
Корни трёхчлена $2x^2-17x+33$ будут $x_1=3, x_2=5{,}5,$ (Найдём корни с помощью дискриминанта:
Решим уравнение
\[
2x^2-17x+33=0.
\]
Найдём дискриминант:
\[
D=(-17)^2-4\cdot 2\cdot 33=289-264=25=5^2.
\]
Значит,
\[
\left[
\begin{array}{l}
x_1=\dfrac{17-5}{4}=3,\\[2mm]
x_2=\dfrac{17+5}{4}=5{,}5.
\end{array}
\right.
\]) поэтому $$2x^2-17x+33=2(x-3)(x-5{,}5).$$
Корни трёхчлена $2x^2-17x+35$ будут $x_1=3{,}5, x_2=5,$ (Найдём корни с помощью дискриминанта:
Решим уравнение
\[
2x^2-17x+35=0.
\]
Найдём дискриминант:
\[
D=(-17)^2-4\cdot 2\cdot 35=289-280=9=3^2.
\]
Значит,
\[
\left[
\begin{array}{l}
x_1=\dfrac{17-3}{4}=3{,}5,\\[2mm]
x_2=\dfrac{17+3}{4}=5.
\end{array}
\right.
\]) поэтому $$2x^2-17x+35=2(x-3{,}5)(x-5).$$
Система принимает вид
\[
\begin{cases}
\dfrac{2(x-3)(x-5{,}5)}{x+5}\leqslant 0,\\[3mm]
2(x-3{,}5)(x-5)>0,\\
x>-6.
\end{cases}
\]
Решим первое неравенство системы методом интервалов:
\[
x\in(-\infty;-5)\cup[3;5{,}5].
\]
Решим второе неравенство системы методом интервалов:
\[
x\in(-\infty;3{,}5)\cup(5;+\infty).
\]
Пересечём оба множества с условием $x>-6:$
\[
x\in(-6;-5)\cup[3;3{,}5)\cup(5;5{,}5].
\]
Ответ: $(-6;-5)\cup[3;3{,}5)\cup(5;5{,}5].$
