Преобразуем знаменатель левой части. По
свойству логарифма степени ($\log_{a}b^k = k\log_a{b}$ при $b > 0$.)\[
\log_2(x^4)=\log_2\bigl((x^2)^2\bigr)=2\log_2(x^2).
\]
Отсюда, по
формуле квадрата суммы ($a^2 + 2ab + b^2=(a + b)^2$):
\[
\log_2^2(x^2)+\log_2(x^4)+1=\log_2^2(x^2)+2\log_2(x^2)+1=\bigl(\log_2(x^2)+1\bigr)^2.
\]
Неравенство принимает вид
\[
\dfrac{\log_2(2-x)-\log_2(x+1)}{\bigl(\log_2(x^2)+1\bigr)^2}\geqslant 0.
\]
Найдём значения, при которых знаменатель равен $0:$
\[
\log_2(x^2)+1=0;
\]
\[
\log_2(x^2)=\log_2\left(2^{-1}\right);
\]
\[
x^2=\dfrac12;
\]
\[
x=\pm\dfrac{1}{\sqrt2}.
\]
Найдём ОДЗ неравенства:
\[
\begin{cases}
2-x>0,\\
x+1>0,\\
x^2>0,\\
\log_2(x^2)+1\neq 0
\end{cases}
\quad\Longleftrightarrow\quad
\begin{cases}
x<2,\\
x>-1,\\
x\neq 0,\\
x\neq\pm\dfrac{1}{\sqrt2}.
\end{cases}
\]
Отметим все условия на числовой прямой:
\[
x\in\left(-1;-\dfrac{1}{\sqrt2}\right)\cup\left(-\dfrac{1}{\sqrt2};0\right)\cup\left(0;\dfrac{1}{\sqrt2}\right)\cup\left(\dfrac{1}{\sqrt2};2\right).
\]
Вернёмся к исходному неравенству. В знаменателе находится выражение в квадрате, поэтому на ОДЗ знаменатель положителен. Значит, знак дроби определяется числителем:
\[
\log_2(2-x)\geqslant\log_2(x+1).
\]
Функция $y=\log_2 t$ монотонно возрастает, так как $2>1.$ Следовательно,
\[
2-x\geqslant x+1;
\]
\[
x\leqslant\dfrac12.
\]
С учётом ОДЗ получаем:
\[
x\in\left(-1;-\dfrac{1}{\sqrt2}\right)\cup\left(-\dfrac{1}{\sqrt2};0\right)\cup\left(0;\dfrac12\right].
\]
Ответ: $\left(-1;-\dfrac{1}{\sqrt2}\right)\cup\left(-\dfrac{1}{\sqrt2};0\right)\cup\left(0;\dfrac12\right].$
