Неравенства: Решите неравенство log_2 ( 3/x + 2 ) -... — задача

Преобразуем неравенство:
\[ \log_2\left(\dfrac{3+2x}{x}\right)-\log_2\left(\dfrac{x+4}{x^2}\right)\leqslant\log_2(x+3). \]
Разность логарифмов с одним основанием равна логарифму частного, если оба аргумента положительны ($$ \log_a b-\log_a c=\log_a\dfrac bc\quad\text{при}\quad b>0,\ c>0. $$):
Преобразуем неравенство с помощью этого свойства, добавив ограничения на аргументы. Неравенство равносильно системе
\[ \begin{cases} \log_2\left(\dfrac{3+2x}{x}:\dfrac{x+4}{x^2}\right)\leqslant\log_2(x+3), & (1)\\[2.5mm] \dfrac{3+2x}{x}>0, & (2)\\[2mm] \dfrac{x+4}{x^2}>0. & (3) \end{cases} \]
Решим $(2)$ методом интервалов:



Решим $(3)$ методом интервалов:



Пересекая полученные множества получим:

\[ x\in\left(-4;-\dfrac32\right)\cup(0;+\infty). \]
Преобразуем неравенство $(1)$. Преобразуем выражение под знаком логарифма в левой части неравенства:
\[ \dfrac{3+2x}{x}:\dfrac{x+4}{x^2} =\dfrac{3+2x}{x}\cdot\dfrac{x^2}{x+4} =\dfrac{3x+2x^2}{x+4}. \]

Тогда неравенство примет вид:
\[ \log_2\left(\dfrac{3x+2x^2}{x+4}\right)\leqslant\log_2(x+3) \]

Функция $\log_2 t$ возрастает. Перейдём к сравнению аргументов логарифмов и добавим необходимое условие $x+3>0.$ Получаем равносильную систему
\[ \begin{cases} \dfrac{3x+2x^2}{x+4}\leqslant x+3, & (*)\\[2.5mm] x\in\left(-4;-\dfrac32\right)\cup(0;+\infty),\\[2.5mm] x+3>0. \end{cases} \]
Решим $(*).$ Перенесём все слагаемые в одну сторону и приведём дроби к общему знаменателю:
\[ \dfrac{3x+2x^2-x^2-7x-12}{x+4}\leqslant 0; \]
\[ \dfrac{x^2-4x-12}{x+4}\leqslant 0. \]
Разложим квадратный трёхчлен $x^2-4x-12$ на множители.

Корни будут $x_1=-2, x_2=6.$ (По обратной теореме Виета:
Если числа $x_1$ и $x_2$ таковы, что они удовлетворяют условию
\[ \begin{cases} x_1+x_2=4,\\ x_1\cdot x_2=-12, \end{cases} \]
то они являются корнями.
Разложим $-12$ на два множителя. Сумму $4$ даёт пара $-2$ и $6.$
Проверка:
\[ \begin{cases} -2+6=4,\\ (-2)\cdot 6=-12. \end{cases} \]
Значит,
\[ \left[ \begin{array}{l} x_1=-2,\\ x_2=6. \end{array} \right. \])
По правилу разложения квадратного трёхчлена на множители получаем:
\[ \dfrac{(x-6)(x+2)}{x+4}\leqslant 0. \]

Решим неравенство методом интервалов:

\[ x\in(-\infty;-4)\cup[-2;6] \]

Тогда система примет вид:
\[ \begin{cases} x\in(-\infty;-4)\cup[-2;6],\\[2.5mm] x\in\left(-4;-\dfrac32\right)\cup(0;+\infty),\\[2.5mm] x>-3. \end{cases} \]

Пересечём множества на числовой прямой:



Получаем:
\[ x\in\left[-2;-\dfrac32\right)\cup(0;6]. \]

Ответ: $\left[-2;-\dfrac32\right)\cup(0;6].$