По формуле перехода к новому основанию ($$\dfrac{\log_c b}{\log_c a}=\log_a b$$) получаем:
$$
\log_{\tfrac{x}{81}}27\leqslant\left(1-\dfrac{1}{4-\log_3 x}\right)\cdot\log_{\tfrac{x}{27}}9.
$$
Воспользуемся
свойствами логарифма.
1)
По формуле ($\log_a b=\dfrac{1}{\log_b a}$):
$$
\dfrac{1}{\log_{27}\dfrac{x}{81}}\leqslant\left(1-\dfrac{1}{4-\log_3 x}\right)\cdot\dfrac{1}{\log_9\dfrac{x}{27}}.
$$
2) Так как $9=3^2$ и $27=3^3,$ получаем
$$
\log_{27}\dfrac{x}{81}
=\log_{3^3}\dfrac{x}{81}
=\dfrac13\log_3\dfrac{x}{81};
$$
$$
\log_9\dfrac{x}{27}
=\log_{3^2}\dfrac{x}{27}
=\dfrac12\log_3\dfrac{x}{27}.
$$
Тогда исходное неравенство принимает вид:
$$
\dfrac{3}{\log_3\dfrac{x}{81}}
\leqslant
\left(1-\dfrac{1}{4-\log_3 x}\right)
\cdot\dfrac{2}{\log_3\dfrac{x}{27}}.
$$
3)
По формуле ($\log_a\dfrac bc=\log_a b-\log_a c$):
$$
\log_3\dfrac{x}{81}=\log_3 x-\log_3 81=\log_3 x-4;
$$
$$
\log_3\dfrac{x}{27}=\log_3 x-\log_3 27=\log_3 x-3;
$$
Подставим в неравенство:
$$
\dfrac{3}{\log_3 x-4}\leqslant\left(1-\dfrac{1}{4-\log_3 x}\right)\cdot\dfrac{2}{\log_3 x-3}.
$$
Сделаем замену $t=\log_3 x$:
$$
\dfrac{3}{t-4}\leqslant\left(1-\dfrac{1}{4-t}\right)\cdot\dfrac{2}{t-3};
$$
$$
\dfrac{3}{t-4}-\left(\dfrac{4 - t - 1}{4-t}\right)\cdot\dfrac{2}{t-3} \leqslant 0;
$$
$$
\dfrac{3}{t-4}-\dfrac{t-3}{t-4}\cdot\dfrac{2}{t-3}\leqslant 0.
$$
Сократим дробь на $t-3,$ учитывая, что $t\neq 3,$ и вычтем дроби с одинаковым знаменателем:
$$
\begin{cases}
t\neq 3,\\
\dfrac{3}{t-4}-\dfrac{2}{t-4}\leqslant 0
\end{cases}
\quad\Longleftrightarrow\quad
\begin{cases}
t\neq 3,\\
\dfrac{1}{t-4}\leqslant 0.
\end{cases}
$$
Получаем:
$$
\begin{cases}
t\neq 3,\\
t<4.
\end{cases}
$$
Сделаем обратную замену. Функция $\log_3 x$ возрастает, так как $3>1:$
$$
\begin{cases}
\log_3 x\neq 3,\\
\log_3 x<4
\end{cases}
\quad\Longleftrightarrow\quad
\begin{cases}
\log_3 x\neq\log_3 27,\\
\log_3 x<\log_3 81
\end{cases}
\quad\Longleftrightarrow\quad
\begin{cases}
x\neq 27,\\
0<x<81.
\end{cases}
$$
Получаем:
$$
x\in(0;27)\cup(27;81).
$$
Ответ: $(0;27)\cup(27;81).$
