Так как мы будем преобразовывать логарифмы, сначала найдём ОДЗ неравенства:
$$
\begin{cases}
25-25x>0,\\
x^2-4x+3>0,\\
x>-7.
\end{cases}
$$
1) Решим первое неравенство:
\[
25-25x>0;\quad|:25
\]
\[
1 - x > 0;
\]
\[
x < 1\quad \Longleftrightarrow\quad x \in (-\infty;1).
\]
2) Решим второе неравенство.
Разложим квадратный трёхчлен $x^2-4x+3$ на множители.
Корни будут $x_1=1, x_2=3.$ (По обратной теореме Виета:
Если числа $x_1$ и $x_2$ таковы, что они удовлетворяют условию
\[
\begin{cases}
x_1+x_2=4,\\
x_1\cdot x_2=3,
\end{cases}
\]
то они являются корнями.
Разложим $3$ на два множителя. Сумму $4$ даёт пара $1$ и $3.$
Проверка:
\[
\begin{cases}
1+3=4,\\
1\cdot 3=3.
\end{cases}
\]
Значит,
\[
\left[
\begin{array}{l}
x_1=1,\\
x_2=3.
\end{array}
\right.
\])Получаем:
\[
(x - 1)(x - 3) > 0.
\]
По методу интервалов получаем:
$$
x\in(-\infty;1)\cup(3;+\infty).
$$
Система принимает вид
$$
\begin{cases}
x<1,\\
x\in(-\infty;1)\cup(3;+\infty),\\
x>-7.
\end{cases}
$$
Пересечём эти множества на числовой прямой:
Получаем итоговое ОДЗ:
$$
x\in(-7;1).\quad (*)
$$
По свойству логарифмов ($\log_a b+\log_a c=\log_a(bc)$):
\[
\log_{\frac15}\bigl(x^2-4x+3\bigr) + \log_{\frac15}\bigl(x+7\bigr)= \log_{\frac15}\bigl((x^2-4x+3)(x+7)\bigr).
\]
Преобразуем исходное неравенство:
$$
\log_{\frac15}(25-25x)<\log_{\frac15}\bigl((x^2-4x+3)(x+7)\bigr).
$$
Функция $\log_{\frac15}t$ убывает, поэтому исходное неравенство равносильно неравенству
$$
25-25x>(x^2-4x+3)(x+7);
$$
$$
25-25x>(x-1)(x-3)(x+7);
$$
$$
25-25x-(x-1)(x-3)(x+7)>0;
$$
$$
-25(x-1)-(x-1)(x-3)(x+7)>0.
$$
Вынесем общий множитель $(x-1)$:
$$
(x-1)\bigl(-25-(x-3)(x+7)\bigr)>0;
$$
$$
(x-1)\bigl(-25-(x^2+4x-21)\bigr)>0;
$$
$$
(x-1)(-x^2-4x-4)>0;\quad|\cdot(-1)
$$
$$
(x-1)(x^2+4x+4)<0.
$$
Воспользуемся
формулой квадрата суммы ($a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$):
$$
x^2+4x+4 = x^2+2\cdot2\cdot x+2^2=(x+2)^2.
$$
Получаем:
$$
(x-1)(x+2)^2<0.
$$
Решим это неравенство методом интервалов:
$$
x\in(-\infty;-2)\cup(-2;1).
$$
Пересечём полученное множество с $(*):$
$$
x\in(-7;-2)\cup(-2;1).
$$
Ответ: $(-7;-2)\cup(-2;1)$.
