Запишем ограничения на неравенство:
$$
\begin{cases}
2x^2+1>0\\
\dfrac{1}{32x}+1>0\\[5pt]
\dfrac{x}{16}+1>0
\end{cases}
$$
Решим каждое неравенство отдельно.
Первое выполняется при всех $x,$ так как $2x^2+1\geqslant 1>0.$
Решим второе неравенство:
$$
\dfrac{1}{32x}+1>0
\quad\Longleftrightarrow\quad
\dfrac{1+32x}{32x}>0
\quad\Longleftrightarrow\quad
x\in\left(-\infty;-\dfrac1{32}\right)\cup(0;+\infty);
$$
Решим третье неравенство:
$$
\dfrac{x}{16}+1>0
\quad\Longleftrightarrow\quad
x>-16.
$$
Пересекая полученные множества, получаем:
$$
x\in\left(-16;-\dfrac1{32}\right)\cup(0;+\infty).\quad(*)
$$
По свойству суммы логарифмов ($\log_a b+\log_a c=\log_a(bc)$)$$
\log_{11}(2x^2+1)+\log_{11}\left(\dfrac{1}{32x}+1\right)=\log_{11}\left((2x^2+1)\left(\dfrac{1}{32x}+1\right)\right).
$$
Отсюда
$$
\log_{11}\left((2x^2+1)\left(\dfrac{1}{32x}+1\right)\right)\geqslant\log_{11}\left(\dfrac{x}{16}+1\right);
$$
Функция $\log_{11}t$ возрастает, поэтому
$$
(2x^2+1)\left(\dfrac{1}{32x}+1\right)\geqslant\dfrac{x}{16}+1.
$$
Преобразуем:
$$
\dfrac{x}{16}+2x^2+\dfrac{1}{32x}+1\geqslant\dfrac{x}{16}+1;
$$
$$
2x^2+\dfrac{1}{32x}\geqslant 0;
$$
$$
\dfrac{64x^3+1}{32x}\geqslant 0.
$$
По формуле суммы кубов ($a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$):
$$
64x^3+1=(4x)^3+1^3=(4x+1)(16x^2-4x+1),
$$
поэтому
$$
\dfrac{(4x+1)(16x^2-4x+1)}{32x}\geqslant 0.
$$
Рассмотрим квадратный трёхчлен $16x^2-4x+1$. Его дискриминант равен
\[
D=(-4)^2-4\cdot16\cdot1=-48<0,
\]
его старший коэффициент $16>0,$ то есть ветви параболы направлены вверх. Значит, $16x^2-4x+1>0$ при всех $x$ и не влияет на знак выражения:
$$
\dfrac{4x+1}{32x}\geqslant 0.
$$
Решим полученное неравенство методом интервалов:
Пересекая решения неравенства с $(*),$ получаем:
$$
x\in\left(-16;-\dfrac14\right]\cup(0;+\infty).
$$
Ответ: $\left(-16;-\dfrac14\right]\cup(0;+\infty).$
