Найдём ОДЗ неравенства:
\[
\begin{cases}
x+3>0,\\
x^2+6x+9>0,\\
x+2>0
\end{cases}
\quad\Longleftrightarrow\quad
\begin{cases}
x^2+6x+9>0,\\
x > -2.
\end{cases}
\]
Из условия $x > -2$ следует условие $x > -3$, поэтому его далее не записываем в систему. По формуле квадрата суммы ($$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$$)
$$x^2+6x+9=(x+3)^2,$$
поэтому система равносильна
\[
\begin{cases}
x \neq -3,\\
x > -2.
\end{cases}
\quad\Longleftrightarrow\quad
x > -2.
\]
Преобразуем неравенство. По свойству логарифма ($$\log_{a^k}b=\dfrac1k\log_a b$$)
\[
\log_{0{,}25}(x+3)=\log_{\frac14}(x+3)=\log_{4^{-1}}(x+3)=-\log_4(x+3),
\]
поэтому
\[
\log_{0{,}25}^2(x+3)=\bigl(-\log_4(x+3)\bigr)^2=\log_4^2(x+3).
\]
На ОДЗ $x+3>0,$ значит, по свойству логарифма степени ($\log_{a}b^k = k\log_a{b}$ при $b > 0$.)
\[
\log_4\left(x^2+6x+9\right)=\log_4(x+3)^2=2\log_4(x+3).
\]
По формуле квадрата разности ($a^2 - 2ab + b^2=(a-b)^2$) получаем:
\[
\log_{0{,}25}^2(x+3)-\log_4(x^2+6x+9)+1 = \log_4^2(x+3)-2\log_4(x+3)+1=\bigl(\log_4(x+3)-1\bigr)^2.
\]
Неравенство принимает вид:
\[
\bigl(\log_4(x+3)-1\bigr)^2\cdot\log_4(x+2)\leqslant 0.
\]
Первый множитель является квадратом числа: он либо равен нулю, либо положителен. Разберём оба случая.
1) Множитель $\bigl(\log_4(x+3)-1\bigr)^2$ равен $0.$ Тогда
\[
\log_4(x+3)-1=0;
\]
\[
\log_4(x+3)=\log_44;
\]
\[
x+3=4;
\]
\[
x=1.
\]
Это значение лежит в ОДЗ. Значит, $x=1$ — решение неравенства.
2) Множитель $\bigl(\log_4(x+3)-1\bigr)^2$ положителен, то есть $x\neq 1.$ Разделим обе части на этот положительный множитель, знак неравенства не изменится:
\[
\log_4(x+2)\leqslant 0;
\]
\[
\log_4(x+2)\leqslant\log_4 1;
\]
Функция $y=\log_4(t)$ возрастает, так как $4>1,$ отсюда:
\[
0<x+2\leqslant 1;
\]
\[
-2<x\leqslant -1.
\]
Все эти значения входят в ОДЗ. Объединяем решения двух случаев:
\[
x\in(-2;-1]\cup\{1\}.
\]
Ответ: $(-2;-1]\cup\{1\}.$
